Дослідження дзета-функції Римана (стр. 6 из 6)

Але

безперервна й має обмежену варіацію на будь-якому кінцевому інтервалі, а тому що , те ( ) і ( ). Отже, абсолютно інтегрувальна на при . Тому при , або при . Інтеграл у правій частині абсолютно сходиться, тому що обмежено при , поза деякою околицею крапки . В околиці й можна покласти , де обмежена при , і має логарифмічний порядок при . Далі, . Перший член дорівнює сумі відрахувань в особливих крапках, розташованих ліворуч від прямої , тобто . У другому члені можна покласти , тому що має при лише логарифмічну особливість. Отже, . Останній інтеграл прагне до нуля при . Виходить,

(4).

Щоб перейти обернено до

, використовуємо наступну лему.

Нехай

позитивна й не убуває й нехай при . Тоді .

Дійсно, якщо

- дане позитивне число, те ( ). Звідси одержуємо для кожного . Але тому що не убуває, то . Отже, . Думаючи, наприклад, , одержуємо .

Аналогічно, розглядаючи

, одержуємо , виходить , що й було потрібно довести.

Застосовуючи лему, з (4) маємо, що

, , тому й теорема доведена.

Таким чином, ми з'ясували основні характеристики функції-дзета-функції: властивості функції в речовинній області, розподілу простих чисел у натуральному ряді й дослідження функції-дзета-функції як функції мнимого аргументу.

Список літератури

1.Титчмарш Е.К. Теорія функції-дзета-функції Римана. К., 2000 р.

2.Фихтенгольц Г.М. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К, 2004

3.Привалов І.І. Введення в теорію функцій комплексного змінного. - К., 2003.

4.Айерленд К., Роузен М. Класичне введення в сучасну теорію чисел. – К., 1997.

5.Шафаревич З.О. Теорія чисел. – К., 2000