Длина кривой AB, по определению, равна
L =
Заметим, что при ΔL
L =
Таким образом, L =
Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 3)
Найдем ¼ часть ее длины от точки (0; R) до точки (R; 0). Так как
y =
Значит L = 2
Полярные координаты
Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(
Если в равенствах x = rcos
Тогда
Поэтому
Применяя формулу L =
получаем L =
Пример:Найти длину кардиоиды r = a (1 + cos
Решение:Кардиоида r = a (1 + cos
½ L =
4. Нахождение объема тел
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть требуется найти объем Vтела (рис 5), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox:S = S(x), a≤ x≤ b [5]
Применим схему II (метод дифференциала).
1. Через произвольную точку x
2. Находим дифференциал dVфункции v = v(x). Он представляет собой
«элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках xи x + Δx, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.
3. Находим искомую величину Vпутем интегрирования dА в пределах от a до b:
V =
Формула объема тела по площади параллельных сечений
Пример:Найти объем эллипсоида
Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a≤ x≤ b.), получим эллипс
Площадь этого эллипса равна S(x) =
V =