Длина кривой AB, по определению, равна
L =
L
=
ΔL
.
Заметим, что при ΔL
0 также и ΔX
0 (ΔL
=
и следовательно | ΔX
| < ΔL
). Функция
непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f
(X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L
=
ΔL
=
, кода max ΔX
0:
L =
=
dx.
Таким образом, L =
dx.
Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 3)
Найдем ¼ часть ее длины от точки (0; R) до точки (R; 0). Так как
y =
, ¼L = 
dx = R arcsin 
= R 
.Значит L = 2
R.Полярные координаты
Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(
), 
. Предположим, что r( ) и r ( ) непрерывны на отрезке [ 
].Если в равенствах x = rcos
, y = rsin , связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривую AB можно задать параметрически 
Тогда
Поэтому
= 
= 
Применяя формулу L =
,получаем L =
Пример:Найти длину кардиоиды r = a (1 + cos
). (рис. 4)Решение:Кардиоида r = a (1 + cos
) симметрична относительно полярной оси. Найдем половину (рис 4) длины кардиоиды:½ L =
=a 
=a 
= 2a cos 
d = 4a sin 
= 4a.4. Нахождение объема тел
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть требуется найти объем Vтела (рис 5), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox:S = S(x), a≤ x≤ b [5]
Применим схему II (метод дифференциала).
1. Через произвольную точку x
[а; b]проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении x. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; x]величина vесть функция от x, т.е. v= у(x) (v(a) = 0, v(b) = V). 2. Находим дифференциал dVфункции v = v(x). Он представляет собой
«элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках xи x + Δx, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.
3. Находим искомую величину Vпутем интегрирования dА в пределах от a до b:
V =
S(x) dx Формула объема тела по площади параллельных сечений
Пример:Найти объем эллипсоида
(рис 6) [5]
Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a≤ x≤ b.), получим эллипс
Площадь этого эллипса равна S(x) =
bc(1 – 
). Поэтому, по формуле имеемV =
bc 
(1 – ) dx = 
abc.