Вычисление интегралов (стр. 3 из 4)

Объём тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤ х ≤ bи прямыми х = а и х = b(рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно,S(x)=

y

.

Применяя формулу

V =

S(x) dx

объема тела по площадипараллельных сечений, получаем

V

= y dx.

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x =

(x) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c <

d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой

V =

S(x) dx,

равен

V =

x

dy.

Пример:Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями у =

, x = 0, у = 2

вокруг оси Оу. [5]

Решение: По формуле

V =

x

dy.

находим:

V

= 2ydy = y = 8 .

5. Нахождение площади поверхности тел вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ≥ 0, где х

[а; b], а функция у = f(х) и ее производная у' = f'(х) непрерывны на этом отрезке.

Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис 8).

Применим схему II (метод дифференциала).

Через произвольную точку х

[а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом у – f(х). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х, т.е. s = s(х) (s(а) = 0 и s(b) = S).

Дадим аргументу х приращение Δх = dх. Через точку х + dх

[а; b]также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(х) получит приращение Δs, изображенного на рисунке в виде «пояска».

Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dу. Площадь его боковой поверхности равна: = 2

ydl + dydl.

Отбрасывая произведение dу d1 как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds= 2

уdl, или, так как d1 =

dx.

Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b,получаем

S

= 2 y

dx.

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t

≤ t ≤ t , то формула для площади поверхности вращения принимает вид

S

= 2 dt.

Пример:Найти площадь поверхности шара радиуса R. [5]

Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y =

, – R ≤ x ≤ R, вокруг оси Ox. По формуле S = 2 y

dxнаходим

S=2

=

6. Нахождение работы переменной силы

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а <bЬ), находится по формуле

A =

Пример:

Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м? [5]

Решение:

По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т.е. F = kх, где k– коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10000; следовательно, F =10000х.

Искомая работа на основании формулы

A =

равна

A =

Пример:

Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты Н м и радиусом основания Rм (рис 13). [5]

Решение:

Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р • Н. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.

Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат.

1) Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной х (0 ≤ х ≤ Н), есть функция от х, т.е. А = А(х), где (0 ≤ х ≤ Н) (A(0) = 0, A(H) = А₀).

2) Находим главную часть приращения ΔA при изменении х на величину Δх = dx, т.е. находим дифференциал dА функции А(х).

Ввиду малости dх считаем, что «элементарный» слой жидкостинаходится на одной глубине х(от края резервуара). Тогда dА = dрх, где dр – вес этого слоя; он равен g

АV, где g– ускорение свободного падения,

– плотность жидкости, dv – объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т.е. dр = g

. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен , где dx – высота цилиндра (слоя), – площадь его основания, т.е. dv= .