Діафантові рівняння (стр. 10 из 10)

(3)

Об’єднуючи нерівності (2) і(3), отримуємо, що при

ліва частина рівняння (1) додатна і тому відмінна від нуля.

Отже, при існуванні цілих додатних чисел даного рівняння 𝑥 має дорівнювати 1 або 2, а 𝑦 = 1. Підстановкою впевнюємось, що лише 𝑥 = 2, 𝑦 = 1 є розв’язком даного рівняння в натуральних числах.

Відповідь: (2, 1).

Приклад 11.

Розв’язати в цілих додатних числах систему рівнянь:

Розв'язок.

Додавши два рівняння системи, отримаємо

Звідки

(1)

Віднімаючи друге рівняння системи від першого, отримаємо

звідки

(2)

Помноживши дві частини рівняння (2) на 2 і віднімаючи потім нове рівняння від (1), отримаємо

(3)

Таким чином, із (2) та (3) випливає:

.

Оскільки

, можливі лише два випадки:

а)

Відповідь: (4, 3, 1), (8, 1, 2).

Приклад 12.

Показати, що система рівнянь

має єдиний розв'язок

Розв'язок.

Так, як

, то перше рівняння системи можна переписати у вигляді .

Оскільки (в означенням)

, поділивши дві частини рівняння на добуток , отримаємо рівносильне йому рівняння

Оскільки

є цілим числом, то і сума

повинна бути цілим числом. Останнє можливо лише в п’яти випадках:

Виконавши перевірку, впевнимося в тому, що тільки

задовольняє дану систему. Отже, система має єдиний розв'язок (1 ,1 ,2 ).

Висновок

У даній курсовій роботі розглядались діофантові рівняння. Таких рівнянь є надзвичайно багато, тому основною метою роботи було розглянути деякі з таких рівнянь та показати різні методи їх розв’язання.

Для окремих невизначених рівнянь існують відомі алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків, або алгоритми, що показують їх відсутність. Саме на такі рівняння акцентувалась увага у курсовій роботі.

При написанні курсової роботи я дізналась про різні методи знаходження розв’язків невизначених рівнянь. Розглянула цікаві діофантові рівняння для яких існують розв’язки в цілих числах, навчилась знаходити ці розв’язки, або показувати, що їх не існує.

Вміння розв’язувати діофантові рівняння дає змогу набагато простіше і швидше доводити існування чи не існування розв'язку деяких задач, а також при наявності розв’язків визначати їх кількість.

Література:

1. Айєрленд К. А., Роузен М. Класическое введение в современную теорию чисел. – М.: Мир, 1987. – 416 с.

2. Бухштаб А. А. Теорія чисел. – М.: Просвещение, 1996. – 284 с.

3. Сивашинский И. Х. Теоремы и задачи по алгебре и элементарной математике. – М.: Гостехиздат, 1965. – 367 с.

4. Перельман Я. И. Занимательная алгебра. – М.: Наука, 1967. - 200 с.

5. Прасолов В. В. Многочлены. – М.: Наука, 2001. – 336 с.

6. Шклярский Д .О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы алгебры и теории чисел (арифметика). – М.: Гостехиздат, 1950. – 382 с.

7. Шнирельман Л. Г. Простые числа. – М.: Гостехиздат, 1940. – 178с.