Діафантові рівняння (стр. 4 из 10)

Всі інші трійки піфагорових чисел або мають спільні множники, або містять числа більше ста.

2.2 Невизначене рівняння Ферма

Розглянемо тепер рівняння вигляду

(6).

Рівняння (6) називають невизначеним рівнянням Ферма, яке має велике значення у всій теорії діофантових рівнянь. Ми доведемо, що при кожному натуральному значенні 𝐷, відмінному від повного квадрата, це рівняння має нескінченно багато розв’язків в цілих числах, і знайдемо загальний метод знаходження всіх його розв’язків.

Теорема 6.

Нехай 𝐷 – ціле додатне, вільне від квадратів число і

( ) – розв'язок діофантового рівняння (6), тоді є чисельником і знаменником відповідно одного із підхідних дробів до .

Доведення. Із

випливає, що і

,

Тобто

– однин із підхідних дробів до . Оскільки , щозадовольняють рівняння (6) є взаємно простими числами, то із рівності

випливає:

= .

Розклад

в ланцюговий дріб в загальному виглядає так:

(7)

Виявляється, що розв’язками рівняння (6) можуть бути чисельники і знаменники тільки тих підхідних дробів

до у яких індекс 𝑠 має вид .

Теорема 7.

Якщо

( ) – розв'язок діофантового рівняння (6), то , де - підхідний дріб до .

Доведення. В попередній теоремі було доведено, що якщо пара цілих додатних чисел

є розв’язком рівняння (6), то = , де - підхідний дріб до . Число є коренем квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами

. (8)

Повний частковий

розклад в ланцюговий дріб є коренем деякого квадратного рівняння

з тим же дискримінантом, як у рівнянні (8) (при

) маємо:

;

- парне число, яке позначимо - 2 . Розв’язуючи квадратне рівняння для ,отримаємо , тобто розклад в ланцюговий дріб повинен мати той же період, як і в розкладі (7) числа і відрізняється від нього тільки на перший член розладу. Це може бути тільки при , , . Тепер залишається тільки вияснити, які саме з чисел є розв’язками рівняння (6).

Теорема.

Нехай 𝐷 – ціле додатне, вільне від квадратів число, 𝑘 – довжина періоду розкладу

в ланцюговий дріб. Ми отримаємо всі розв’язки рівняння (6) в цілих додатних числах 𝑥 та 𝑦, якщо візьмемо:

де 𝑛 – довільне натуральне число, таке, що 𝑘𝑛 парне.

Доведення.

В попередній теоремі було встановлено, що всі цілі додатні розв’язки рівняння (6) знаходяться серед пар вигляду

. Залишається тільки вияснити, при яких 𝑛 числа задовольняють рівняння (6).

врозкладі в ланцюговий дріб має вигляд:

,

тобто

(8).

Так, що підставляючи значення

із формули (8), отримаємо:

(9)

Оскільки

- ірраціональне, із рівності (9) випливає:

Помноживши першу з цих рівностей на

, а другу на і віднявши їх, отримаємо:

Пара

, буде розв’язком рівняння (6) тоді і тільки тоді, коли , тобто при парних значеннях 𝑘𝑛. Найменшими додатними значеннями , які задовольняють рівняння Ферма (6) є:

, якщо 𝑘 парне.

, якщо 𝑘 непарне.

Приклад. 1) знайти найменші цілі додатні значення 𝑥, 𝑦, які задовольняють рівняння