Діафантові рівняння (стр. 5 из 10)

Розкладаючи

в ланцюговий дріб, отримуємо:

У даному прикладі 𝑘 = 6 – парне число, тому

, - шукані значення 𝑥 та 𝑦. Обчислюючи , знаходимо , .

2) знайти найменші цілі, додатні значення 𝑥, 𝑦, які задовольняють рівняння

Розкладаючи в ланцюговий дріб

отримуємо:

У цьому прикладі 𝑘=5, найменше парне 𝑘𝑛 дорівнює 10, тому шукані значення

, . Обраховуючи, отримуємо , .

Аналогічно до рівняння (6) можна розв’язати рівняння

. (10)

Теореми доведені для рівняння (6) справедливі і для рівняння (10), але замість умови парності 𝑘𝑛 , треба поставити умову 𝑘𝑛 не ділиться на 2. Таким чином, при парних значеннях 𝑘 діофантове рівняння (10) не має розв’язків.

2.3 Невизначене рівняння третього степеня

Сума кубів трьох цілих чисел може бути кубом четвертого числа. Наприклад,

Це означає, що куб ребро якого дорівнює 6 см, рівновеликий сумі трьох кубів, ребра яких дорівнюють 3см, 4см, 5см.

Спробуємо знайти таке ж відношення, тобто поставимо задачу: знайти розв’язки рівняння

. Зручніше позначити невідоме 𝑢 через . Тоді рівняння буде мати більш простий вигляд

.

Розглянемо прийом, що дозволяє знайти безліч розв’язків цього рівняння в цілих (додатних та від’ємних)числах. Нехай 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 та 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 – дві четвірки чисел, що задовольняють рівняння. Додамо до чисел першої четвірки числа другої четвірки, помноженої на деяке число 𝑘, і спробуємо підібрати число 𝑘 так, щоб отримані числа

також задовольняють наше рівняння. Інакше кажучи, підберемо 𝑘 таким чином, щоб виконувалась рівність

.

Розкривши дужки і знаючи, що 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 та 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 задовольняють рівняння, тобто мають місце рівності

, ,

ми отримаємо:

Або

Добуто може бути нулем тоді і тільки тоді, коли є нулем принаймні один із множників. Прирівнявши кожен із множників до нуля, отримуємо два значення для 𝑘. Перше значення, 𝑘=0, нас не цікавить, бо в цьому разі отримуємо числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, які задовольняють наше рівняння. Тому візьмемо інше значення для 𝑘:

Отже, знаючи дві четвірки чисел, які задовольняють початкове рівняння, можна знайти нову четвірку: для цього треба до чисел першої четвірки додати числа другої четвірки, помножені на 𝑘, де 𝑘 має вище вказане значення.

Для того щоб застосувати цей прийом, треба знати дві четвірки, що задовольняють початкове рівняння. Одну таку четвірку ми вже знаємо – (3, 4, 5,

). За другу четвірку можна взяти числа , які очевидно, що задовольняють початкове рівняння. Інакше кажучи, покладемо:

Тоді для 𝑘 ми отримаємо наступне значення:

а числа

будуть відповідно дорівнювати

Очевидно, що останні чотири вирази задовольняють початкове рівняння

.

Оскільки всі ці вирази мають однаковий знаменник, то його можна відкинути. Отже при наше рівняння задовольняють (при будь яких 𝑟 та 𝑠 ) наступні числа:

В цьому можна впевнитись і безпосередньо, піднісши ці вирази до кубу і додавши їх. Надаючи 𝑟 та 𝑠 різні цілі значення, можемо отримати цілий ряд цілочисельних розв’язків нашого рівняння. Якщо при цьому отримані числа будуть мати спільний множник, то на нього ці числа можна поділити. Наприклад, при 𝑟=1, 𝑠=1 отримуємо для 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 наступні значення: 36, 6, 48,

, або після скорочення на 6, значення 6, 1, 8, . Таким чином,

.

2.4 Теорема Лежандра

Розглянемо невизначене рівняння

(11). Вперше знайшов розв’язки рівняння (11) Лежандр, довівши наступну теорему:

Теорема 8.

Якщо 𝑎, 𝑏 і 𝑐 – попарно взаємно прості додатні цілі числа, вільні від квадратів, то невизначене рівняння

Має нетривіальні розв’язки в цілих числах 𝑥, 𝑦 і 𝑧, тоді і тільки тоді, коли мають розв’язки конгруенції

(12)

Доведення.

Необхідність умов (12) очевидна. Доведемо їх достатність.

Нехай 𝑝 – довільний непарний простий дільник числа 𝑐. Тоді із (12) випливає, що конгруенція

маж нетривіальний розв'язок, наприклад, . В такому випадку форма розкладається по модулю 𝑝 на лінійні множники:

.

Такий же розклад правильний для форми

, тобто має місце рівність

, (13)

де

- цілочисельні лінійні форми. Аналогічні рівності мають місці і для непарних простих дільників 𝑝 коефіцієнтів 𝑎 і 𝑏, а також 𝑝 = 2, так, як

.

Знайдемо тепер такі лінійні форми

, щоб виконувались рівності

Для всіх простих дільників 𝑝 коефіцієнтів 𝑎, 𝑏 і 𝑐. Тоді із рівності (13) отримаємо

, (14)

Будемо надавати змінним

цілі значення, які задовольняють умови

(15)

Якщо виключити із розгляду тривіальний випадок

(для нього твердження теореми очевидне), то із того, що числа 𝑎, 𝑏 і 𝑐 є взаємно простими, випливає що не всі числа , , будуть цілими. Значить, число наборів (𝑥, 𝑦, 𝑧), що задовольняють умови (15), строго більше, ніж . Розглянемо значення, які приймає лінійна форма при цих значеннях змінних. Так, як число наборів (𝑥, 𝑦, 𝑧) з умовою (15) більше числа лишків по модулю 𝑎𝑏𝑐, то для двох різних наборів ( , , ) і ( , , ) маємо