Діафантові рівняння (стр. 6 из 10)

𝑙(

, , )

Звідси, в силу лінійності форми

, отримаємо, що при , , виконується конгруенція

𝑙(

, , ) .

Відповідно до (14),

(16)

Оскільки для наборів (

, , ) і ( , , ) виконується (15), то

,

Значить,

Остання нерівність сумісна із конгруенцією (16) лише в тому випадку, коли

або коли

Перший випадок дає нетривіальний розв'язок, (

, , ). У другому випадку існування нетривіального цілочисельного розв’язку рівняння (11) випливає із тотожності

Вище доведене дає ефективний алгоритм для знаходження нетривіального цілочисельного розв'язку рівняння (11).

Розділ ІІ. Приклади розв’язання діофантових рівнянь

§1.Приклади розв’язаннялінійних діофантових рівнянь

Задача1. Розв’язати лінійне діофантове рівняння:

3𝑥

.

Хоча одне рівняння з двома невідомими має нескінченне число розв’язків, неочевидно, що знайдеться хоча б одне з цілими додатними 𝑥 та 𝑦.

Знаючи, що 𝑥 та 𝑦 є цілими і додатними розв’яжемо це рівняння. Виділимо невідоме, коефіцієнт, якого менший, отримаємо:

,

звідки

.

Оскільки 𝑥, 6 і 𝑦 – цілі числа, то рівність може бути вірною лише за умови, що

є цілим числом. Позначимо його буквою 𝑡. Тоді

,

де

,

і значить,

Із останнього рівняння визначаємо 𝑦:

.

Оскільки 𝑦 та 𝑡 – цілі числа, то і

повинно бути деяким цілим числом . Тоді,

,

причому

звідки

+1.

Значення

+1 підставимо в попередні рівності:

.

І так, для 𝑥 та 𝑦 ми знайшли представлення:

,

Взагалі кажучи, ми довели тільки те, що всякий цілочисельний розв'язок рівняння

, має вигляд , , де - деяке ціле число. Доведення того, що при довільному цілому ми отримаємо деякий цілочисельний розв'язок даного рівняння, випливає, якщо провести аналогічні міркування в зворотному напрямку, підставивши знайдені значення 𝑥 та 𝑦 в початкове рівняння.

Оскільки

, то і

,

З цих нерівностей знаходимо:

Цим самим величина

обмежується; вона більша за (а значить і більша за ). Але оскільки - ціле і додатне число, то можна стверджувати, що для нього можливі лише наступні значення:

Тоді відповідні значення для 𝑥 та 𝑦 будуть такими:

,

Формули для

визначають розв’язки даного рівняння у цілих невідємниних числах.

Задача2. Розв’язати систему лінійних діофантових рівнянь:

Розв'язок:

Віднявши друге рівняння від першого, отримаємо одне рівняння з двома невідомими:

Знаходимо 𝑦:

Очевидно,

- ціле число. Позначимо його через 𝑡. Маємо:

Підставляємо вирази для 𝑦 та 𝑧 у друге із початкових рівнянь: