Діафантові рівняння (стр. 8 из 10)
Знаючи, що числа
, 
цілі і в добутку дають 
, очевидно, що вони можуть набувати наступних значень: 
Отже маємо такі системи рівнянь:
Відповідь:
.Приклад 3.
Розв’язати в цілих числах рівняння:
Розв'язок.
Перепишемо наше рівняння вигляді:
Тепер розв’яжемо дане рівняння, як квадратне відносно 𝑥:
Оскільки
, маємо нерівність 
Дискримінант набуватиме від’ємних значень при
, тому 𝑦 належить проміжку 
. Враховуючи те, що 𝑦 є числом цілим, то він може набувати таких значень: 
.3наючи 𝑦, легко можемо знайти 𝑥:
при 𝑦=0,
, 
.при 𝑦=1,
0.𝑥=0, 𝑥=2.
при 𝑦=2,
𝑥=1, 𝑥=2.
Відповідь: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2).
Приклад 4.
Знайти всі розв’язки рівняння в цілих числах:
Розв'язок.
Нехай
, де 𝑥, 𝑦, 𝑧 – цілі числа. Тоді число 𝑥 парне. Після заміни 
отримаємо рівняння 
Скоротимо на 2:
Очевидно, що 𝑦 парне число. Після заміни
отримаємо рівняння: 
Знову скоротимо на 2:
З останнього рівняння бачимо, що 𝑧 парне число. Після заміни
, отримаємо рівняння: 
Отримали рівняння, яке має такий же вигляд як і початкове рівняння. Тому знову за таким же алгоритмом можемо довести, що
парні, і так далі. Але це можливо тільки в тому випадку, коли 
.Отже, в цілих числах рівняння має єдиний розв'язок
.Приклад 5.
Знайти всі розв’язки рівняння
в раціональних числах.Розв'язок.
Очевидним є розв'язок
, тому достатньо розглянути випадок, коли 
(випадок 
розглядується аналогічно).Нехай
, де 
– раціональне число. Тоді 
тому 𝑘𝑦=
, а значить 
Нехай
– нескоротний дріб. Тоді 
та 
.Числа 𝑝 і 𝑝+𝑞 взаємно прості, тому число 𝑦 може бути раціональним тільки тому випадку, коли 𝑝=
і 𝑝+𝑞= 
для деяких натуральних 𝑎 та 𝑏. Припустимо, що 
Тоді 
Приходимо, до суперечності, так, як між числами
та 
не може знаходитись число 
. Тому 𝑞=1. Для будь-якого натурального 𝑝 числа 
та 
раціональні і являються розв’язками рівняння 
. Ці числа будуть цілими лише при 
. В цьому випадку 
Приклад 6.
Розв’язати в цілих числах рівняння
.Розв'язок.
Перепишемо дане рівняння у вигляді :
Або
,Звідки
Таким чином дане рівняння розпадається на два :
Або
(1) 
(2)Так як
, то в (1) невідомий корінь 𝑥 може набувати цілі значення 0, 1, 4, 9, 16, а в (2) – лише цілі значення 0, 1, 4, 9. Відповідні їм значення 𝑦 такі: 64, 36, 16, 4, 0; 36, 16, 4, 0. Отже дане рівняння має 9 розв’язків в цілих числах.Відповідь:
Приклад 7.
Розв’язати в цілих числах рівняння
Розв'язок.