Діафантові рівняння (стр. 9 из 10)

Очевидно, що 𝑥 та 𝑧 не можуть бути від’ємними числами, так як при

а тому

має вигляд що можливо лише при парних значеннях 𝑦. Але з умови випливає, що 𝑦 не може бути парним числом, якщо .

Якщо

, то рівняння має вигляд

звідки

Нехай

Маємо

Із цього рівняння випливає, що

або , де 𝑡 – натуральне число.

Оскільки

і оскільки 𝑦 – непарне число, то 𝑧 – парне число або .

Нехай

Тоді , або , звідки

, . Тому або тобто , звідки і тому

Якщо ж

, то 𝑥 довільне, 𝑎𝑦 . І так, при ми маємо, крім тривіального розв'язку , де 𝛼 – будь яке натуральне число або нуль, лише ще один розв'язок:

При

. Очевидно, що непарних значеннях z дане рівняння не має розв’язків , при парних значеннях z рівняння зводиться до вигляду:

Отже, рівняння має тривіальний розв'язок

де 𝛼 – будь-яке натуральне число, і, крім того, ще має тільки три розв’язки:

Приклад 8.

Розв’язати в натуральних числах рівняння

Розв'язок.

Перепишемо дане рівняння у вигляді:

або

Оскільки дільниками числа 7 є лише числа

то шукані числа 𝑥 та 𝑦 треба шукати серед розв’язків наступних чотирьох систем:

Перша система має єдиний розв'язок в натуральних числах

третя система має також єдиний розв'язок в натуральних числах Друга та четверта системи не мають розв’язків в натуральних числах.Отже, дане рівняння має рівно два розв’язки в натуральних числах: .

Приклад 9.

Розв’язати в цілих числах рівняння:

Розв'язок.

Ні одне із невідомих не може бути цілим від’ємним числом, так як рівності

неможливі при натуральних 𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑛.

Легко перевірити, що

. Отже, 𝑥, 𝑦 – натуральні. Із умови випливає:

або

або

Число

– парне, якщо

Якщо

, то , а тому із умови маємо

тобто,

Таким чином,

- розв'язок даного рівняння.

Якщо ж

повинно містити парну кількість доданків, а тому 𝑥 – парне число; нехай . Тоді

або

,

або

.

Якщо 𝑧 – непарне число, то

- непарне число, що можливо лише при тобто .

Тоді з умови маємо

тому

- другий розв'язок даного рівняння.

Якщо ж 𝑧 – парне число, тобто

, то , а тому дане рівняння перепишемо у вигляді:

або

;

тому

останнє рівняння не має розв’язків, так як

ділиться на 5, а не ділиться на 5.

Відповідь: (1, 1), (2, 3).

Приклад 10.

Розв’язати в натуральних числах рівняння:

Розв'язок.

Перепишемо рівняння у такому вигляді:

(1)

Якщо

то , а тому , тобто ; відповідно, при має місце нерівність

(2)

Якщо

, то , а тому ; значить, при має місце нерівність