Смекни!
smekni.com

Критерій відношення правдоподібності для великих вибірок (стр. 2 из 6)


де

і називається дисперсією випадкової величини
.

Нехай

щільність розподілу випадкової величини
( або ймовірність – у дискретному випадку),
вибірка з розподілу
( тобто всі
мають розподіл
і є незалежними випадковими величинами),
реалізація вибірки. Функція
є щільністю розподілу випадкового вектора
. Якщо
розглядається при фіксованому значенні
, то така функція параметра
називається функцією правдоподібності. Оцінкою максимальної правдоподібності невідомого параметра
називається таке значення
, при якому
для заданого
.

Статистичною гіпотезою( або просто гіпотезою) називають будь-яке твердження щодо виду чи властивостей розподілу спостережуваної випадкової величини. Статистичні гіпотези надалі позначатимемо так:

. Статистичною параметричною гіпотезою називається припущення про значення невідомого параметра
розподілу
Наведемо приклади параметричних гіпотез:

1)

2)

3)

де
взагалі кажучи, деяка векторна функція
,
стала.

Взагальному випадку параметрична гіпотеза задається деякою підмножиною

, до якої, за припущенням, належить невідомий параметр
. Тоді параметрична гіпотеза записується так:
. Альтернативна гіпотеза має вигляд:
; точки
називаються альтернативами. Якщо множина
містить лише одну точку, то гіпотезу
( альтернативу
) називають простою; у протилежному випадку гіпотезу( альтернативу) називають складною.

Правило, згідно якого висунута гіпотеза

приймається або відкидається, називається статистичним критерієм( або просто критерієм) перевірки гіпотези
.

Нехай

вибірка з розподілу
і висунута параметрична гіпотеза
(
може бути як скаляром, так і вектором і надалі будемо вважати його вектором, якщо не обумовлено протилежне). Потрібно визначити чи узгоджується запропонована гіпотеза із результатами проведеного експерименту. У такому випадку поступають наступним чином: будують таке правило( критерій), яке дозволяє на основі отриманих реалізацій вибірки
зробити висновок: прийняти гіпотезу
чи відхилити її( прийняти альтернативу
). Отже, критерій розбиває вибірковий простір
на дві множини
такі, що
, де
складається із тих точок, для яких гіпотеза
приймається, а множина
із точок, для яких
відхиляється. Множина
називається областю прийняття гіпотези, а множина
називається областю відхилення гіпотези, або критичною областю.

У процесі перевірки гіпотези

можна прийти до правильного висновку або допустити помилку першого роду – відхилити
, коли гіпотеза вірна, чи помилку другого роду – прийняти
, коли вона хибна.

Ймовірності цих двох помилок можна виразити через функцію потужності

критерію
:
. А саме: ймовірність похибки першого роду рівна
, а ймовірність похибки другого роду рівна
.