Критерій відношення правдоподібності для великих вибірок (стр. 3 из 6)

Число

називають рівнем значущості критерію, якщо .

Нехай

, тоді квантилем розподілу називається корінь рівняння . Якщо функція строго монотонна, то це рівняння має єдиний корінь; у протилежному випадку це рівняння має декілька коренів, і тоді квантилем називають мінімальний серед коренів рівняння.

2. Критерій відношення правдоподібності для великих вибірок

Одним із найбільш універсальних методів побудови критеріїв перевірки складних гіпотез є метод відношення правдоподібності, суть якого полягає у наступному. Для перевірки гіпотези

проти альтернативи вводиться статистика відношення правдоподібності

де

, функція правдоподібності. Разом із статистикою вводиться статистика

Будемо вважати, що виконуються умови регулярності, що забезпечують існування, єдність і асимптотичну нормальність оцінки максимальної правдоподібності

параметра . Розглянемо випадок простої гіпотези.

Теорема. Нехай потрібно перевірити просту гіпотезу

фіксована внутрішня точка множини . Тоді для великих вибірок( ) при виконанні вказаних умов регулярності критерію відношення правдоподібності задається асимптотично критичною множиною

(1)

тобто при

де

рівень значущості критерію.

Доведення. Покажемо, що з умов теореми слідує:

(2)

звідки випливає рівність (1). Якщо справедлива гіпотеза

, то в силу спроможності оцінки максимальної правдоподібності при великих точка близька до , тому для можна записати розклад Тейлора відносно точки :

де

Звідси випливає, що

Оскільки

слушна оцінка для , а другі похідні функції правдоподібності, за припущенням, неперервні по , то справедливо:

На основі закону великих чисел при

величина

збігається за ймовірністю( за розподілом

) до середнього значення

Таким чином, матриця граничних значень коефіцієнтів квадратичної форми у (3) співпадає з інформаційною матрицею

. Звідси слідує, що випадковий вектор має в границі такий же розподіл, як і нормальний випадковий вектор Таким чином, права частина (3) має в границі такий розподіл, як і квадратична форма . Тоді . Звідки і випливає співвідношення (2). Теорему доведено.

Розглянемо важливий приклад застосування викладених результатів до поліноміального розподілу

Приклад( метод відношення правдоподібності для поліноміального розподілу). Нехай проводяться незалежні випробування, в кожному з яких реалізується один із

можливих наслідків , тобто спостерігається випадкова величина , що приймає значення ( , якщо наступила подія ). Позначимо через вектор ймовірностей цих подій( ) і через вектор частот реалізацій відповідних наслідків в випробуваннях( ). Як відомо, розподіл вектора має поліноміальний розподіл . Припустимо тепер, що ймовірності подій невідомі і потрібно перевірити гіпотезу де заданий вектор, що задовольняє умовам: . Альтернативна гіпотеза має вигляд .

Тут роль параметра

відіграє вектор , але оскільки на значення параметрів накладена вимога , то бажано позбутись цього обмеження, виключивши, наприклад, . Таким чином, надалі покладаємо і .

Оцінками максимальної правдоподібності для параметрів

є відносні частоти реалізацій відповідних подій, тобто , тому в даному випадку статистика відношення правдоподібності має вигляд: