Критерій відношення правдоподібності для великих вибірок (стр. 4 из 6)

Звідси

Якщо справедлива гіпотеза

, то в границі при ця статистика має розподіл , тому при заданому рівні значущості критичну границю вибирають рівною . Тоді критична множина матиме вигляд: , причому критична точка визначається із співвідношення:

Тому, якщо

то гіпотеза

відхиляється( тобто вона не узгоджується із статистичними даними проведеного експерименту, і ймовірність того, що ми відхиляємо правильну гіпотезу не перевищує значення ), у протилежному випадку – приймається.

Приклад 2(метод відношення правдоподібності для перевірки значень параметрів нормального розподілу)

Розглядається вибірка з нормального розподілу. Потрібно перевірити гіпотезу про значення параметрів нормального розподілу за двосторонньої альтернативи. А саме,

, альтернативна гіпотеза . Обчислимо статистику критерію. Для цього знайдемо функцію правдоподібності для нормального розподілу . Тоді

.

Звідси,

Тут

, . Тому статистика критерію матиме вигляд:

.

У наступному розділі ми більш детально розглянемо застосування критерію відношення правдоподібності для великих вибірок до перевірки статистичних гіпотез.

3. Приклади застосування критерію відношення правдоподібності для великих вибірок

Розглянемо декілька прикладів на застосування розглянутого критерію.

Приклад 1. Кількість бракованих деталей у партії не повинна перевищувати

. У результаті контролю 100 деталей із цієї партії виявлено 6 бракованих. Чи можна вважати, що відсоток браку рівний при ?

Розв’язання. Для розв’язку задачі застосуємо критерій відношення правдоподібності для великих вибірок. Нехай

ймовірність браку деталі, ймовірність того, що деталь справна, . - припущення про параметр розподілу. Отже, перевіримо просту гіпотезу , тоді альтернативна гіпотеза тут У нашому випадку , тоді статистика критерію

Для заданого рівня значущості

знаходимо критичну точку ( див. Додаток А). Отже, отримали, що при даній реалізації вибірки статистика критерію отримала значення , яке менше критичного значення , тобто гіпотеза приймається, а тому відсоток браку можна вважати таким, що рівний .

Приклад 2. Гральний кубик підкинули 600 разів, при цьому шестірка випала 75 разів, п’ятірка – 118, четвірка – 124, трійка – 108, двійка – 92 і одиничка - 83. Чи можна вважати, що кубик симетричний і однорідний? Прийняти

Розв’язання. У цій задачі

невідомий параметр, причому , Тоді . Гіпотеза , альтернатива . Знайдемо значення статистики критерію

Критична точка

. Оскільки , то гіпотеза відхиляється, тому не можна вважати, що кубик симетричний і однорідний.

Приклад 3. Метод одержання випадкових чисел був застосований 250 разів, при цьому отримали наступні результати:

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Частота появи	27	18	23	31	21	23	28	25	22	32

Чи можна вважати, що застосований метод дійсно генерує випадкові числа? Покласти

Розв’язання. Згідно умови задачі, невідомий параметр, , Тоді . Гіпотеза , альтернатива . Знайдемо значення статистики критерію:

Критична точка множини

. Отже, , тому гіпотеза приймається. Тому можна вважати, що застосований метод справді генерує випадкові числа.

4. Опис програми

Призначення програми. Використовуючи програму, код модуля якої наведений у додатку B, можна розв’язувати задачі на узгодженість простої параметричної гіпотези із реалізаціями великих вибірок. Перевірка узгодженості проводиться на основі критерію відношення правдоподібності для великих вибірок.Умови застосування. Програма коректно працює на IBM – сумісних комп’ютерах з такими характеристиками: Celeron 2.26/MBASUSP4VM-800 /DDR 1.5GbPC3200/ HDD 330 Gb 7200 rpm/ Radeon 9250 128/128, під операційною системою – WindowsXPProfessionalSP3 із встановленим програмним забезпеченням – середовищем розробки - Delphi 7.

Опис задачі та вихідні дані. У додатку Cнаводяться три результати виконання програми.У першому випадку при вводі даних вручну потрібно вказати у відповідні поля кількість різних значень випадкової величини та рівень значущості. У таблицю вводяться частоти і ймовірності, з якими випадкова величина набуває відповідні значення.У другому випадку розглядається подібна задача, тільки тут дані зчитуються з файлу.У третьому випадку програма сама генерує вибірку з нормального розподілу і перевіряється гіпотеза про значення математичного сподівання і дисперсії цього розподілу, причому на формі вказується значення математичного сподівання, дисперсії і рівня значущості.Текст програми. У додатку B наведений код модуля програми, оскільки при написанні програми використано візуальне середовище Delphi 7.Результати. У додатку Cнаведені результати виконання програми на різних контрольних прикладах.

Висновки

У курсовій роботі було розглянуто один із критеріїв відношення правдоподібності, а саме: критерій відношення правдоподібності для великих вибірок, його теоретичне обґрунтування, застосування до розв’язування практичних задач. Проте, як і будь-який інший статистичний критерій, він має свої переваги і недоліки, які визначають його практичну цінність. Тому розглянемо їх.