Интерполирование функций (стр. 3 из 3)
Оценка погрешности интерполирования выполняется по формуле
5. Интерполяция сплайнами
Пусть задана таблица значений функции f(xi) = yi (
), в которой они расположены по возрастанию значений аргумента: x0 < x1 < … < xn. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты ai0, ai1, ai2, ai3, которые задают интерполяционный кубический многочлен 
на каждом интервале интерполирования [xi-1, xi],
.Таким образом, необходимо определить 4n коэффициентов aij (
, 
), для чего требуется 4n уравнений. Необходимые уравнения определяются следующими условиями.1. Условия непрерывности функции:
2. Условия непрерывности 1-х и 2-х производных функции:
3. Граничные условия:
Часто используются граничные условия вида
Получаемый при этом сплайн называется естественным кубическим сплайном.Задача определения кубического сплайна существенно упрощается при использовании многочлена Эрмита. Кубический многочлен Эрмита на интервале [xi-1, xi] определяется с помощью значений функции yi-1, yi и ее производных y¢i-1, y¢i. Так как значения производных в общем случае могут быть неизвестны, обозначим их как y¢i-1 = Si-1; y¢i = Si. При построении сплайна переменные Si называются наклонами сплайна в соответствующих точках xi.
Запишем многочлен Эрмита для интервала [xi-1, xi], где hi = xi - xi-1:
При таком выборе кубического многочлена автоматически выполняются условия непрерывности функции и ее первых производных:
Чтобы определить сплайн, нужно задать условия непрерывности второй производной:
Для записи этих условий в развернутом виде определим кубический многочлен Эрмита на интервале [xi, xi+1], где hi+1 = xi+1 - xi:
Определим вторые производные многочленов Qi(x) и Qi+1(x) в точке x = xi:
(4) 
(5)Отсюда условие непрерывности вторых производных имеет вид:
(6)Это условие порождает систему линейных уравнений относительно наклонов сплайна Si, которая содержит n - 1 уравнение и n + 1 переменную. Чтобы определить два недостающих уравнения используются граничные условия. Например, для естественного кубического сплайна:
Указанные граничные условия могут быть получены из уравнения (5) для i = 0 и из уравнения (4) для i = n соответственно. В развернутом виде:
(7)Решение системы линейных уравнений, образованной условиями (6) и (7), позволяет вычислить наклоны сплайна Si (i =
) и определить кубический сплайн путем записи многочлена Эрмита для каждого интервала [xi-1, xi],i= 
.Заключение
В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.
Список литературы
1. В.В. Иванов. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие. Изд-во "Наукова думка". Киев. 1986.
2. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. Изд-во "Лаборатория базовых знаний". 2003.
3. И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Изд. ФизМатЛит. Москва. 1962.
4. К. Де Бор. Практическое руководство по сплайнам. Изд-во "Радио и связь". Москва. 1985.
5. Дж. Форсайт, М.Мальком, К. Моулер. Машинные методы математических вычислений. Изд-во "Мир". Москва. 1980.