Решение транспортной задачи в Excel (стр. 2 из 3)
(bj =0) запрещаем такие же клетки вj-ом столбце.
В случае одновременного исчерпания запасов потребностей (ai =bj= 0) запрещаем перевозки или в строке (тогда считаем, что у потребителя осталась потребность в количестве равном нулю, которую необходимо удовлетворить), или в столбце (в этом случае считаем, что у поставщика остается запас равный нулю, который необходимо вывезти). Это делается для того, чтобы при одновременном запрещении перевозок в строке и столбце количество заполненных клеток таблицы не стало меньшим, чем m+n-1.
Получим новую текущую таблицу, в которую не входят заполненные и запрещенные клетки. Если таблица не пуста, переходим к шагу 1. (При исчерпании таблицы - конец).
Способ минимальной стоимости.
1.Клетки с минимальной ценой (3,1), (3,2) и (3,3). Выбираем, например, (3,2). (Далее все шаги, как в предыдущем способе).
2 . x32= min{50,60} = 50
3. a'3 =50-50=0, b'2 = 100-50=50
4.Запрещаем строку 3.
1.Клетка с min ценой ~ (2,3)
2.x23 = min{70,80} = 70
3.a2=70-70=0, b'3 = 80-70=10
4.Запрещаем строку 2.
| 1 | 2 | 3 | |
| 60 | 560 | 10 | 12 |
| Χ | 8- | 6- | 470 |
| Χ | 0 | 050 | 0- |
| 50 | 10 |
1. Клетка с min ценой ~ (1,1)
2. x 11=min{120,60} = 60
3. a 1'=120-60 = 60, b1'= 0
4.В первом столбце запрещать уже нечего. Текущая таблица содержит две клетки (1,2) и (1,3).
1.Выбираем клетку (1,2)
2.x12 =min{110,100} = 100
3.a1 =110-100 = 10, b'1 = 0
4.Текущая таблица содержит одну клетку (1,3).
1. Выбираем последнюю клетку(1,3)
2. x13=min{10,10} = 10
3.a1' = b3 = 0
4.Таблица исчерпана. Конец.
Переходим к описанию следующего шага метода потенциалов.
ШАГ 2. Проверка текущего плана на оптимальность.
Признаком того, что текущий план перевозок является оптимальным, служит условие
(1)ui +vj -cij≤0
которое выполняется для всех клеток таблицы. Неизвестные здесь величины uiи vj(называемые потенциалами) определяются из условий
(2)ui + vj = cij
Условие (1) означает невозможность появления "спекулятивной" цены. Само же название "потенциалы" заимствовано из физического закона о том, что работа по перемещению заряда в электростатическом поле равна разности потенциалов в данных точках поля (У нас: "...цена перевозки единицы продукции по коммуникации равна разности цен в конце и в начале пути")
Так как заполненных клеток в таблице (m+n-1) штук, а неизвестных и (m+n) штук, то для их определения имеется система из (m+n-1) уравнений относительно (m+n) неизвестных. Чтобы найти решение (хотя бы какое-нибудь) такой системы, достаточно положить одно из неизвестных (произвольное) равным некоторому произвольно выбранному числу. Тогда остальные определяются единственным образом. Можно решать эту систему непосредственно (продолжаем работать с нашим "старым" примером и найдем потенциалы для начального плана, построенного способом МС).
Заполненные клетки Уравнения
(1,1) u1 + v1 =5
(1,2) u1 + v2 =10
(1,3) u1 + v3 =12
(2,3) u2 +v3 =4
(3,2) u3 +v2 =0
Положим, например, неизвестное u1 равным 0 (через него можно из первых трех уравнений найти v1, v2 и v3). Последовательно из них находим u2 ,u3.
Этот метод можно сформулировать в виде единого правила:
Неизвестный потенциал находится вычитанием известного из цены перевозки в заполненной клетке
Применим это правило для определения u и vв нашем примере и получим:
u1 =0, u2 =-8, u3 =-6
v1 =5, v2 =10, v3 =12
Переходим к проверке условий оптимальности (1). Достаточно проверять их для незаполненных клеток, так как для клеток заполненных эти условия выполняются как равенства. Для проверки берется незаполненная клетка, складываются соответствующие ей потенциалы (первый элемент строки и последний элемент столбца) и из них вычитается цена перевозки в данной клетке. Если полученное число отрицательное (или ноль), то оптимальность в данной клетке не нарушается (в случае выполнения условия (1) для всех незаполненных клеток, имеем оптимальный план перевозок). Если же в таблице встретилась хотя бы одна клетка, для которой это число положительно, тогда решение не является оптимальным и может быть улучшено.
Проверим на оптимальность имеющееся решение
(2,1)u2+v1-c21=-8+5-8=-11<0
(2,2) u 2 +v2 -c22=-8+10-6=-4<0
(3,1)u3 +v1-c31=-10+ 5-0=-5<0
(3,3)u3 +v3 -c33=-10+12-0=2>0
Следовательно, условие оптимальности нарушено в клетке (3,3).
Имеющийся план перевозок можно улучшить.
Дадим описание заключительного шага алгоритма метода потенциалов.
ШАГ 3 Улучшение плана перевозок.
Улучшение плана происходит путем назначения перевозки θ>0 в ту клетку (i , j) таблицы, в которой нарушилось условие оптимальности. Но назначение ненулевой перевозки нарушает условия баланса вывоза продукции от поставщика i (вывозит весь запас и еще плюсθ>0 ) и условия баланса привоза продукции к потребителю j(получает все что можно и еще плюс θ > 0). Условия баланса восстанавливают путем уменьшения вывоза от i-поставщика к какому-то другому потребителю j(уменьшают на θ перевозку в какой-то заполненной клетке (i , j) строки i). При этом нарушается баланс привоза продукции к потребителю j (получает на θ меньше, чем ему требуется). Восстанавливают баланс в столбце j, тогда он нарушается в некоторой строке i и т.д. до тех пор, пока цикл перемещения перевозок не замкнется на клетке, в которой нарушалось условие оптимальности. Продемонстрируем эти рассуждения на нашем примере.
| 120 | 60 | 50+ Ө | 10- Ө |
| 70 | - | - | 70 |
| 50 | - | 50- Ө | * + Ө |
| 60 | 100 | 80 |
| 120 | 60 | 60 | -(0) |
| 70 | - | - | 70 |
| 50 | - | 40 | * 10 |
| 60 | 100 | 80 |
1. Оптимальность нарушена в клетке (3,3). Назначим в нее перевозку θ>0 (+θ означает, увеличение на θ).
2.Нарушается баланс вывоза от поставщика 3 (вывозит 50+ θ, а это больше его запаса!). Уменьшаем на θ перевозку в заполненной клетке строки 3 (вне заполненной уменьшать нельзя, так как это приведет к отрицательной перевозке).
Рассмотрим те клетки цикла в которых уменьшаем на θ перевозку и берём минимум из вычетаемых, у нас это min{10- θ ,50- θ }=10.
И данное число надо подставить в цикл
§3. Транспортные задачи по различным критериям
Транспортная задача по критерию времени
Иногда возникает ситуация, когда в условиях (ТЗ) необходимо минимизировать не стоимость перевозок, а время их выполнения (Срочные грузы, перевозки скоропортящихся продуктов, работа «скорой помощи» и т.д.)
Имеется m поставщиков
однородного груза и n потребителей 
груза. Для каждой пары ( 
, 
) известно время 
, за которое груз перевозится от к . Требуется составить такой план перевозок, при котором все запасы поставщиков будут вывезены, а все запросы потребителей будут полностью удовлетворенны и наибольшее время доставки всех грузов будет минимизирован.Задача о назначениях (Венгерский метод)
Имеется n видов работ и n рабочих. Каждый рабочий может выполнить любую из nработ за некоторое время (цена рабочего). Требуется распределить все работы между всеми рабочими так, чтобы время выполнения работ было минимальным, а каждую работу выполнял только один рабочий.
§4. Решение транспортной задачи в Excel
В качестве примера я рассмотрел транспортную задачу для 2 складов и 5 магазинов.
· В ячейки C4:C5 записал объемы продукции, имеющиеся на 2 складах.
· В ячейки E5:I5 - заявки на продукцию, поступившие от магазинов.
· В ячейки B8:F9 - матрицу транспортных расходов, задающую расходы на перевозку из I-го склада в J-й магазин единицы продукции.
· В ячейки B13:F14 - план перевозок - матрицу, задающую количество товара, перевезенного из I-го склада в J-й магазин. Начальное распределение плана задано по принципу "каждой сестре по серьге", равномерно распределив всю имеющуюся на складе продукцию по магазинам. Эти ячейки являются регулируемыми и Решатель должен найти более подходящее решение, изменив значения в этих ячейках.
· В ячейку D15 - записал целевую функцию:
{ =СУММ((B8:F8*B13:F13)+(B9:F9*B14:F14))}
· В ячейки D17:H17 записал ограничения, задающие требование о точном выполнении заявки каждого магазина. Как обычно, я записал соответствующую формулу в первую из этих ячеек:
{=СУММ(B13:B14) - E5 }
Затем скопировал ее. При копировании формула автоматически меняется, задавая нужное ограничение. Правда, нужно следить при этом за правильной ориентацией данных. Например, в данном случае формулу нужно копировать в строку, а не в столбец.