Рішення ірраціональних рівнянь (стр. 7 из 9)

Відповідь:

Приклад 2. Вирішити рівняння

.

Рішення.

, те

; ; ; ; ; ; .

Отже, ліва частина рівняння приймає ненегативне значення тільки при

. А це значить, що його коренем може бути тільки значення 5, а може трапитися, що рівняння взагалі не буде мати корінь. Для рішення цього питання виконаємо перевірку.

Перевірка показує, що 5 є коренем вихідного рівняння.

Відповідь: {5}.

3.1.3 Використання монотонності функції

Рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивостей монотонності ґрунтується на наступних твердженнях.

1. Нехай f(x) - безперервна й строго монотонна функція на проміжку Q, тоді рівняння f(x)=c, де c - дана константа може мати не більше одного рішення на проміжку Q.

2. Нехай f(x) і g(x) - безперервні на проміжку Q функції, f(x) - строго зростає, а g(x)- строго убуває на цьому проміжку, тоді рівняння f(x)= g(x) може мати не більше одного рішення на проміжку Q.

Відзначимо, що в кожному з випадків проміжки Q можуть мати один з видів:

Приклад 1. Вирішимо рівняння

Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної х.

ОПЗ:

.

Отже,

.

На ОПЗ функції

й безперервні й строго убувають, отже, безперервна й убуває функція . Тому кожне своє значення функція h(x) приймає тільки в одній крапці. Так як h(2)=2 , те 2 є єдиним коренем вихідного рівняння.

Відповідь: {2}.

3.1.4 Використання обмеженості функції

Якщо при рішенні рівняння

вдається показати, що для всіх з деякої множини М справедливі нерівності й , то на множині М рівняння рівносильне системі рівнянь: .

Приклад 1. Вирішити рівняння

.

Рішення. Функції, що коштують у різних частинах рівняння, визначені на

. Для кожного . Отже, дане рівняння рівносильне системі рівнянь

.

Вирішимо друге рівняння системи:

; ;

Тоді

Перевірка показує, що 0 є коренем даного рівняння, а - 1-не є.

Відповідь:{0}.

Приклад 2. Вирішити рівняння

Рішення. Оцінимо підкореневі вираження.

Отже,

,

Так як перший доданок лівої частини вихідного рівняння обмежено знизу одиницею, а другий доданок-3, те їхня сума обмежена знизу 4. Тоді ліва частина рівняння стає рівної правої частини рівняння при

.

Відповідь:{2}.

3.2 Застосування похідної

У вищенаведених рівняннях були розглянуті застосування деяких властивостей функції, що входять у рівняння. Наприклад, властивості монотонності, обмеженості, існування найбільшого й найменшого значень і т.д. Іноді питання про монотонність, про обмеженість і, особливо, про знаходження найбільшого й найменшого значень функції елементарними методами вимагає трудомістких і тонких досліджень, однак він істотно спрощується при застосуванні похідної. (Наприклад, не завжди можна догадатися, як і яка нерівність застосувати з «класичних»).

Розглянемо застосування похідної при рішенні рівнянь.

3.2.1 Використання монотонності функції

Надалі ми будемо користуватися наступними твердженнями:

1) якщо функція f(x) має позитивну похідну на проміжку М,

те ця функція зростає на цьому проміжку;

2) якщо функція

безперервна на проміжку й має усередині проміжку позитивну (негативну) похідну, те ця функції зростає ( убуває) на проміжку;

3) якщо функція

має на інтервалі (а;b) тотожно рівну нулю похідну, те ця функція є постійна на цьому інтервалі.

Приклад 1. Вирішити рівняння

Рішення. Розглянемо функцію

.

На цьому проміжку

безперервна, усередині його має похідну:

Ця похідна позитивна усередині проміжку

. Тому функція зростає на проміжку М. Отже, вона приймає кожне своє значення в одній крапці. А це означає, що дане рівняння має не більше одного кореня. Легко бачити, що -1 є коренем даного рівняння й по сказаному вище інших корінь не має.

Відповідь:

3.2.2 Використання найбільшого й найменшого значень функції

Справедливі наступні твердження:

найбільше (найменше) значення безперервної функції, прийняте на інтервалі

може досягатися в тих крапках інтервалу , у яких її похідна дорівнює нулю або не існує (кожна така крапка називається критичною крапкою);

щоб знайти найбільше й найменше значення безперервної на відрізку

функції, що має на інтервалі (а;b) кінцеве число критичних крапок, досить обчислити значення функції у всіх критичних крапках, що належать інтервалу (а;b), а також у кінцях відрізка й з отриманих чисел вибрати найбільше й найменше; якщо в критичній крапці функція безперервна, а її похідна, проходячи через цю крапку, міняє знак з «мінуса» на «плюс», то крапка - крапка мінімуму, а якщо її похідна міняє знак з «плюса» на «мінус», те - крапка максимуму.

Приклад 1. Вирішити рівняння

.

Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної x.

ОПЗ:

.

Розглянемо безперервну функцію

на відрізку [2;4], де D(f)=[2;4].

Функція f(x) на інтервалі (2;4) має похідну:

, звертаються в нуль тільки при х=3.