Рішення ірраціональних рівнянь (стр. 9 из 9)

- рішень немає.

; .

Відповідь:{3}.

Приклад 5. Вирішити рівняння

Рішення. Множина М – загальна частина (перетинання) областей існування функцій

- є всі

На множині М функції

й позитивні. Тому, логарифмуючи обидві частини рівняння, одержимо рівняння, рівносильне вихідному на М.

Вирішимо рівняння сукупності.

. Уведемо нову змінну. Нехай . Одержуємо, що . Тоді . Виконаємо зворотну заміну. або . Тоді або .

Одержуємо, що вихідне рівняння рівносильне системі:

Відповідь:

.

Зауваження. У задачах підвищеної складності зустрічаються рівняння виду

, де - деякі позитивні числа. Такі рівняння не є ірраціональними рівняннями, тому що не містять змінної під знаком радикала, але всі, же розберемо їхнє рішення в даному пункті.

Приклад 6. Вирішити рівняння

Рішення. Перетворимо вираження

Тоді вихідне рівняння прийме вид:

Зауваження. Можна помітити, що

, отже, і - взаємно обернені числа. Тоді . Уведемо нову змінну. Нехай , а Одержуємо, що вихідне рівняння рівносильне наступний . Тоді

Виконаємо зворотну заміну.

або

; ;

Тоді

.

;

Тоді

Відповідь :{-2;2}.

4.3 Ірраціональні логарифмічні рівняння

Приклад 1. Вирішити рівняння

Рішення.

;

З огляду на, що

, дане рівняння рівносильне системі:

Відповідь:{32,75}.

Приклад 2. Вирішити рівняння

Рішення.

. Перетворимо праву частину рівняння.

Повернемося до вихідного рівняння.

;

Уведемо нову змінну. Нехай

. Одержуємо, що

.

Вирішимо рівняння системи.

; .

Тоді

Повернемося до системи:

Отже,

Виконаємо зворотну заміну:

Перевірка показує, що 1 є коренем вихідного рівняння.

Відповідь: {1}.

Приклад 3. вирішити рівняння

Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної х.

ОПЗ:

.

На ОПЗ вихідне рівняння рівносильне рівнянню

; ;

Уведемо нову змінну. Нехай

або

;

;

Відповідь: {3;81}.

Висновок

Дана курсова робота допомогла мені навчитися вирішувати ірраціональні рівняння наступних типів: стандартного, нестандартного, показового, логарифмічні, підвищеного рівня. Застосовувати основні властивості функції, область визначення, область значення функції. Використовувати найбільше й найменше значення функції. Застосування похідної. Я вважаю, що цілі які поставлені перед виконанням курсової роботи виконані.

Література

1. Харкова О.В. Ірраціональні рівняння. – К., 2004

2. Колмогоров О.М. Алгебра й початок аналізу. – К., 2003

3. Куланін Е.Д., Норін В.П. 3000 конкурсних задач по математиці. – К., 2000

4. Гусєв В.А., Мордкович А.Д. Довідкові матеріали по математиці. – К., 2003

5. Сканаві М.М. Збірник задач по математиці. – К., 2006