Дифференциальные уравнения (стр. 3 из 4)

Запишем однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ):

Составим и решим для ОЛДУ характеристическое уравнение:

k⁴-3k³+3k²-k=0

k₁=0

k³-3k²+3k-1=0

k₂=1

по методу Горнера:

1 -3 3 -1

1 1 -2 1 0

k³-2k²+1=0

k_3,4=1

Общее решение будет равно:

Найдём частное решение:

6A-2Ax-B=2x

Откуда:

Ответ:

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

- НЛДУ с постоянными коэффициентами

Составим ОЛДУ и решим соответствующее характеристическое уравнение

Решение НЛДУ запишется в виде:

Общее решение:

Найдём частное решение дифференциального уравнения:

Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим коэффициенты

=>

Частное решение:

Решение дифференциального уравнения:

Ответ:

Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:

- НЛДУ с постоянными коэффициентами

Общее решение

Найдём частное решение:

Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим неизвестные коэффициенты:

Частное решение уравнения:

=

Ответ:

=

Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

По определению гиперболического синуса:

Найдём общее решение

Найдём частное решение:

Подставив в исходные уравнения, найдём значения коэффициентов:

Ответ:

Задача 16. Решить задачу Коши:

, ,

Решение:

- НЛДУ

Общее решение запишем в виде

Запишем ОЛДУ и найдём корни его характеристического уравнения:

Общее решение имеет вид:

Найдём решение частное:

,

где С₁ и С₂– решения системы дифференциальных уравнений

По теореме Крамера:

Интегрируя выражения, получим:

Следовательно, решение будет выглядеть так:

Найдём значения С₁ и С₂

Ответ:

Задача 17. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение:

Составим матрицу системы:

Составим характеристическое уравнение det(A-λE)=0, то есть: