Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца (стр. 2 из 5)

, причем

(λ-скаляр)

Пусть A и B – два нормированных векторных пространства. Отображение T из A в B называется ограниченным линейным оператором, если

Ясно, что всякий ограниченный линейный оператор непрерывен.

Пусть A₀ и A₁ – топологических векторных пространства. Говорят, что

A₀ и A₁совместимы, если существует отделимое топологическое векторное пространство U, такое, что A₀ и A₁, являются подпространствами. В этом случае можно образовать сумму A₀ + A₁, и пересечение A₀∩A₁. Сумма состоит из всех a

U, представимых в виде a=a₀+a₁, где a₀

A, и a₁

Справедлива следующая лемма

Лемма 2.1. Пусть A₀ и A₁-совместимые нормированные векторные пространства. Тогда

A₀∩A₁, есть нормированное векторное пространство с нормой

A₀ + A₁, также представляет собой нормированное векторное пространство с нормой

При этом если A₀ и A₁ – полные пространства, то A₀∩A₁ и A₀ + A₁ также полны.

Дадим некоторые важные определения:

Категория σ состоит из объектов A,B,C…., и морфизмов R,S,T,…. между объектами и морфизмами определено трехместное отношение T: A↷B.

Если T: A↷B и S: B↷C, то существует морфизм ST, называемый произведением (или композицией) морфизмов S и T, такой, что ST: A↷C.

Операция взятия произведения морфизмов удовлетворяет закону ассоциативности: T(SR)=(TS)R. далее, для всякого объекта A из σ существует морфизм I=I_A, такой, что для любого морфизма T: A↷ATI=IT=T

Через σ₁ обозначим категорию всех совместимых пар

пространств из σ.

Определение 2.1. Пусть

=(A₀,A₁)-заданная пара из σ₁. Пространство A из σ будем называть промежуточным между A₀ и A₁ (или относительно

), если имеют место непрерывные вложения.

Если, кроме, того T:

↷

влечет T: A↷A, то A называется интерполяционным пространством между A₀ и A₁.

Более общим образом, пусть

- две пары из σ₁. Тогда два пространства A и B из σ называются интерполяционными относительно

соответственно и T:

↷

влечет T: A↷B.

Если выполнено

В этом случае, говорят, что A и B равномерные интерполяционные пространства.

Определение 2.2 Интерполяционные пространства A и B называются пространствами типа θ (0≤θ≤1), если

В случае с=1 говорят, что A и B- точные интерполяционные пространства типа θ.

3. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц

Хорошо известно, что проблема нахождения нормы линейного оператора, спектрального радиуса оператора являются трудной проблемой и в конечномерном случае. В то же время, иногда важно не вычисляя нормы оператора знать, как она изменится в случае некоторого преобразования.

В данной работе изучается влияние распределения ненулевых элементов неотрицательной матрицы на норму соответствующего оператора и спектрального радиуса.

Определим пространство

как множество всех наборов вида

a=(a₁, a₂,…, a_N)

с нормой

Множество Q={(k,l):k,l=1,…,N} назовем решеткой размерности NxN. Любое множество Q₀={(k_i,l_j):

} будет являться подрешеткой размерности rxm.

Спектральный радиус линейного оператора в конечномерном пространстве

определяется следующим образом:

r(A)=

где l_k- собственные значения оператора A.

Пусть m ≤ N, d₁,…,d_m - положительные числа. Через D_m обозначим множество неотрицательных матриц А, ненулевые элементы которых принимают значения d₁,…,d_m. Через P(A) обозначим множество индексов соответствующих положительным элементам. Пусть AÎD_m. Если D={(k_i,l_j), i=1,…,q, j=1,…,p} подрешетка, содержащая P(A), то для соответствующего оператора А

Как видно из этого определения, от перестановки строк и столбцов матрицы норма не меняется.

Пусть даны положительные числа d₁,…,d_m и натуральное число m < N².

Будем исследовать следующие вопросы:

Как расположить числа d₁,…,d_m в решетке Q, чтобы норма линейного оператора A_Q соответствующего решетке (матрице) Q была максимальной?

Пусть в неотрицательной решетке Qm положительных элементов. Как расположить (m+1)-ый элемент, чтобы норма линейного оператора A_Qсоответствующей полученной решетке была максимальной?

Как расположить числа d₁,…,d_m в решетке Q, чтобы спектральный радиус был минимальным (максимальным)?

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 3.1 Пусть d₁,…,d_m положительные числа, D_m- класс неотрицательных матриц, ненулевые элементы которых принимают значения d₁,…,d_m. Если m ≤ N, Q₀-произвольная подрешетка размерности 1

m, то

Доказательство. Воспользуемся определением и неравенством Коши-Буняковского, получаем

Неравенство в обратную сторону очевидно.

Теорема доказана.

Данное утверждение говорит о том, что если ненулевых элементов меньше либо равно N, то своего максимума норма достигается когда все ненулевые элементы расположены в одной строке или в одном столбце.

Теорема 3.2 Пусть d₁=…=d_m=d, то есть D_m– множество всех матриц, имеющие m ненулевых элементов, которые равны числу d. Q₀-произвольная решетка, симметричная относительно главной диагонали размерности n

n, где n=min{r: r²≥ m}. Тогда

где [m^1/2] - целая часть числа m^1/2.

Доказательство. Из свойства спектрального радиуса имеем для AÎD_m

Пусть Q₁-подрешетка, также симметричная относительно главной диагонали размерности

. Тогда для AÎD_m, Q₁ÌP(A)ÌQ₀ имеет место представление

А=А₁+А₀, где А₁,А₀ÎD_m, Р(А₁)=Q₁, P(A₀)ÌQ₁\Q₀.

Учитывая, что матрицы А₀ и А₁ неотрицательны, получаем

поэтому r(A₀)≤r(A).

С другой стороны А₁ – симметричная матрица и следовательно

Таким образом,

Теорема доказана.

Теорема 3.3 Пусть множество GÌQ, где Q - решетка размерности n

n таково, что, если (k,l)ÎG, то (l,m),(n,k)ÏG для всех n,mÎ{1,2,…,N}.