Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца (стр. 3 из 5)

Тогда, если P(A)ÌG, то r(P(A))=0.

Доказательство. Не трудно проверить, что для матрицы А с ненулевыми элементами из G (т.е. P(A)ÌG) имеет место равенство А²=0, т.е. А – нильпотентная матрица индекса 2 и следовательно у нее единственное собственное значение 0.

Теорема доказана.

Теорема 3.4 Пусть AÎD_m. Пусть Q₀ -минимальная подрешетка содержащая P(A), (Q₀ÉP(A)) такая, что в каждой строке и в каждом столбце находится хотя бы один элемент соответствующий нулевому элементу матрицы A.

Пусть A_d – матрица, полученная из матрицы A добавлением элемента со значением d>0 в одно из свободных мест, тогда

Доказательство.

Так как норма оператора не зависит от перестановки строк и столбцов матрицы, то можно считать, что решетка A₀={(i,j), i=1,…,l; j=1,…,m} расположена в левом верхнем углу матрицы A. Пусть добавлен еще один ненулевой элемент d с координатами (i₀,j₀) вне решетки Q₀. Возможны три случая:

1) 1 ≤ i₀ ≤ l, j₀ > m;

2) i₀ > l, 1 ≤ j₀ ≤ m;

3) i₀ > l, j₀ > m.

Рассмотрим первый случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (1, m+1). По условию теоремы в каждой строке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент и мы можем предположить, что a_1m=0. Получаем:

Используя неравенства

,

имеем:

Пусть z₁=x₁, z₂=x₂,…,z_m=

и

,

тогда

где элемент

имеет координаты (1,m).

Следовательно

Рассмотрим второй случай. Пусть добавленный ненулевой элемент соответствует индексу (l+1,1). Учитывая, что в каждой строке и в каждом столбце решетки есть хотя бы один ненулевой элемент и то, что от перестановки строк норма матрицы не меняется, мы можем предположить, что a_l1=0. Аналогично первому случаю имеем:

.

Используя неравенства

,

получаем:

.

Пусть z₁=y₁, z₂=y₂,…,z_m=

и

,

тогда

где элемент

имеет координаты (l,1). Следовательно

Рассмотрим последний случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (l+1, m+1). В этом случае нужно учесть, что от перестановки строк и столбцов норма матрицы не изменится, поэтому можно положить, что a_lm=0. Рассуждая также, как и в предыдущих случаях, получаем:

где элемент

имеет координаты (l,m).

Теорема доказана. Аналогичные задачи для интегральных операторов были рассмотрены в работах [1], [5].

4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств

Пусть 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Определим семейство конечномерных пространств:

где

невозрастающая перестановка последовательности . Обозначим через –множество всех непустых подмножеств из {1,2,...N} Пусть M , 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, множество M назовем сетью.

Определим семейство конечномерных пространств

|e| - количество элементов множества e.

При q=∞ положим

Данные пространства являются конечномерными аналогами сетевых пространств, введенных в [1].

Будем говорить что {A^N} ↪ {B^N} если существует константа c, такая что

для любого , где c не зависит от .

Лемма 4.1 Пусть 1 ≤ q <q₁≤ ∞, 1 ≤ p ≤ ∞,

. Тогда имеет место вложение

↪

то есть

где с не зависит от выбора N.

Доказательство. Пусть

(1)

то есть

↪

Теперь рассмотрим случай, когда 1 ≤ q <q₁< ∞, и воспользуемся неравенством (1)

Лемма доказана.

Лемма 4.2 Пусть 1≤p<p₁<∞, 1≤q,q₁≤∞. Тогда имеем место вложение

↪

Доказательство.

Согласно условию леммы, нам достаточно доказать вложения при p < p_{1 :}

↪

Получаем:

Лемма доказана.

Лемма 4.3 Пусть 1<p<∞, 1≤q≤∞, M=

. Тогда

Равенства понимаются с точностью до эквивалентности норм, причем константы не зависят от

.

Доказательство. Сначала докажем соотношение:

(2)

Заметим, что

Поэтому

Теперь покажем обратное неравенство. Пусть

. Учитывая выбор имеем.