Смекни!
smekni.com

Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца (стр. 4 из 5)

~

~

Заметим, что

Согласно (2) получаем:

то есть

.

Докажем обратное включение. Пусть

Введем следующие обозначения:

Тогда


.

Пусть для определенности

.

Возможны следующие случаи:

.

В первом случае получаем, что

.

Во втором случае

, следовательно
. Представим
, тогда
. Здесь и далее
- целая часть числа
.

Получаем


Заметим, что существует

такое, что

Положим

Тогда
.

.

Таким образом, получаем

Из того, что


Имеем

То есть

. Следовательно
где соответствующие константы не зависят от N.

Лемма доказана.

Для пары пространств

определим интерполяционные пространства
аналогично [5] .

Пусть

, тогда

где

При q=∞


Лемма 4.4 Пусть

, d>1. Тогда

Справедлива следующая

Теорема 4.1 Пусть ≤p0<p1<∞, 1<q0,q1≤∞, M – произвольная сеть. Тогда

где

Доказательство.

Учитывая, что

нам достаточно, доказать следующее вложение

Пусть

Рассмотрим произвольное представление a=a0+a1, где

тогда

(3)

Так как представление a=a0+a1 произвольно, то из (3) следует

Где

Рассматривая норму элемента в пространстве и применяя

лемму 4.4 , получаем:

Теорема доказана.

Теорема 4.2 Пусть 1≤p0<p1<∞, 1<q0,q1≤∞,

Тогда имеет место равенство


Это равенство понимается в смысле эквивалентности норм с константами, не зависящими

N.

Доказательство. По теореме 4.1 и того, что

является обобщением пространств Лоренца нам достаточно доказать следующее вложение:

.

Определим элементы

и
следующим образом

, тогда
.

Заметим что

(4)

где

(5)

где


Тогда

Из (4) и (5) имеем:

Оценим отдельно каждое из слагаемых последнего равенства, используя неравенство Гельдера:

~

где

.

Таким образом, получаем, что

Аналогично рассмотрим второе слагаемое:

~

~