~
Заметим, что
Согласно (2) получаем:
то есть
↪ .Докажем обратное включение. Пусть
Введем следующие обозначения:Тогда
Пусть для определенности
.Возможны следующие случаи:
.В первом случае получаем, что
.Во втором случае
, следовательно . Представим , тогда . Здесь и далее - целая часть числа .Получаем
Заметим, что существует
такое, чтоПоложим
Тогда . .Таким образом, получаем
Из того, что
Имеем
То есть
. Следовательно ↪ где соответствующие константы не зависят от N.Лемма доказана.
Для пары пространств
определим интерполяционные пространства аналогично [5] .Пусть
, тогдагде
При q=∞
Лемма 4.4 Пусть
, d>1. ТогдаСправедлива следующая
Теорема 4.1 Пусть ≤p0<p1<∞, 1<q0,q1≤∞, M – произвольная сеть. Тогда
↪где
Доказательство.
Учитывая, что
↪ нам достаточно, доказать следующее вложение ↪Пусть
Рассмотрим произвольное представление a=a0+a1, гдеТак как представление a=a0+a1 произвольно, то из (3) следует
Где
Рассматривая норму элемента в пространстве и применяялемму 4.4 , получаем:
Теорема доказана.
Теорема 4.2 Пусть 1≤p0<p1<∞, 1<q0,q1≤∞,
Тогда имеет место равенствоЭто равенство понимается в смысле эквивалентности норм с константами, не зависящими
N.Доказательство. По теореме 4.1 и того, что
является обобщением пространств Лоренца нам достаточно доказать следующее вложение: ↩ .Определим элементы
и следующим образом , тогда .Заметим что
(4)где
(5)где
Тогда
Из (4) и (5) имеем:
Оценим отдельно каждое из слагаемых последнего равенства, используя неравенство Гельдера:
~где
.Таким образом, получаем, что
Аналогично рассмотрим второе слагаемое: ~~