Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца (стр. 1 из 5)

Министерство образования и науки республики Казахстан

Северо-Казахстанский государственный университет

им. М. Козыбаева

Факультет информационных технологий

Кафедра математики

Курсовая работа

"Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца"

Петропавловск, 2007

Аннотация

В данной курсовой работе исследованы свойства некоторых семейств конечномерных пространств и доказаны интерполяционные теоремы для этих классов пространств.

Содержание

Введение

1. Основные понятия и некоторые классические теоремы теории интерполяции

2. Общие свойства интерполяционных пространств

3. О норме и спектральном радиусе неотрицательныхматриц

4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Теория интерполяции функциональных пространств как самостоятельная ветвь функционального анализа сформировалась за последние 40-45 лет. Она играет все возрастающую роль в анализе и его приложениях. Центральной темой теории является проблема интерполяции линейных операторов. Эта проблема тесно связана с задачей построения совокупности "промежуточных" пространств – арены, на которой действуют "промежуточные" операторы. Основополагающий вклад в теорию был сделан Эл.-Л. Лионсом, А.П. Кальдероном и С.Г. Крейном. При этом не следует, конечно, забывать, что исследованием названных авторов предшествовали (и стимулировали их) классические теоремы Рисса и Марцинкевича об интерполяции линейных операторов в пространствах l_p.

Теория интерполяция также применяется в других областях анализа (например, в теории уравнений с частными производными, численном анализе, теории аппроксимации). Рассматривают два существенно различных интерполяционных метода: метод вещественной интерполяции и метод комплексной интерполяции. Модельными примерами для этих методов служат доказательства теоремы Марцинкевича и теоремы Рисса-Торина соответственно. Один из самых ранних примеров интерполяции линейных операторов был предложен Шуром. Шур сформулировал свой результат для билинейных форм, или вернее для матриц, соответствующих этим формам. В 1926 году М. Рисс доказал первую версию теоремы Рисса-Торина с ограничением p≤q, которое как он показал, существенно в случае, когда в качестве скаляров берутся вещественные числа. Основным рабочим инструментом Рисса было неравенство Гельдера. Но в 1938 году Торин привел совершенно новое доказательство и смог устранить ограничение p≤q. В то время как Рисс пользовался вещественными скалярами и неравенством Гельдера, Торин использовал комплексные скаляры и принцип максимума.

1. Основные понятия и некоторые классические теоремы теории интерполяции

Пусть (u,μ) – пространство с мерой μ, которую будем всегда предполагать положительной. Две рассматриваемые функции будем считать равными, если они отличаются друг от друга лишь на множестве нулевой μ-меры. При этом обозначим через l_p(u,dμ) или просто (l_p(dμ), l_p(u) или l_p) лебегово пространство всех скалярнозначных μ-измерных функций f и u, для которых величина

конечна, здесь 1≤p<∞.

В случае, когда p=∞, пространство l_p состоит из всех μ-измеримых ограниченных функций. В этом случае

Пусть T- линейное отображение пространства l_p=l_p(u,dμ) в пространство l_q=l_q(v,dν). Это означает, что T(αf+βg)=αT(f)+βT(g).

Если к тому же T- ограниченное отображение, то есть если величина конечна, то пишут T: lp®lq.

Число μ называется нормой отображения T. Справедливы следующие известные теоремы:

Теорема 1.1 (интерполяционная теорема Рисса-Торина)

Предположим, что

и что T: с нормой μ₀ и T : с нормой μ₁.

Тогда T:

→ с нормой μ, удовлетворяющей неравенству (*), при условии, что 0<θ<1 и ; .

Неравенство (*) означает, что μ как функция от θ логарифмически выпукла, то есть lnμ – выпуклая функция.

Доказательство теоремы приведено в [1].

Для скалярнозначной μ-измерной функции f, принимающей почти всюду конечные значения, введем функцию распределения m(σ,f) по формуле

Ясно, что m(σ,f) представляет собой вещественнозначную функцию от σ, определенную на положительной вещественной полуоси

. Очевидно, что m(σ,f) – невозрастающая и непрерывная справа функция. Кроме того,

при 1≤p<∞

и

.

Используя функцию распределения m(σ,f), введем теперь слабые l_p-пространства, обозначаемые через

. Пространства , 1≤p<∞, состоит из всех функций f , таких что

В предельном случае p=∞, положим

.

Заметим, что

не является нормой при 1≤p<∞.

Действительно, ясно, что

Применяя неравенство

, заключаем, что

Последнее означает, что

представляет собой так называемое квазинормированное векторное пространство. (В отличие от нормированных пространств, где выполняются неравенство треугольника , в квазинормированных пространствах имеет место лишь "квази-неравенство треугольника" для некоторого k≥1.) Однако, при p>1 в пространстве можно ввести норму, при наделении которой оно становится банаховым пространством.

Теорема 1.2 (Интерполяционная теорема Марцинкевича)

Пусть p₀≠p₁ и

T:

с нормой ,

T:

с нормой .

Положим

; , и допустим, что p≤q.

Тогда T:

→ , с нормой μ, удовлетворяющей неравенству .

Эта теорема, напоминает теорему Рисса-Торина, но отличается от нее во многих важных отношениях.

Во-первых, здесь скаляры могут быть как вещественными, так и комплексными, в то время как в теореме Рисса-Торина обязательно нужно, чтобы скаляры были комплексными. Во-вторых здесь имеется ограничение p≤q. Наиболее важная особенность состоит в том, что в предпосылках теоремы пространства

и заменены на более широкие пространства и .

Таким образом, теорема Марцинкевича может оказаться применимой в тех случаях, где теорема Рисса-Торина уже не работает.

2.Общие свойства интерполяционных пространств

Пусть A- векторное пространство над полем вещественных или комплексных чисел. Оно называется нормированным векторных пространством, если существует вещественнозначная функция (норма)

, определенная на A, удовлетворяющая условием.