Кустанайский государственный педагогический институт
Естественно-математический факультет
Кафедра высшей математики
Реферат
На тему:
Нормированное пространство. Банахово пространство
Ванжа Галина
Проверила: ст. преподаватель
Нурмагамбетова А.А.
г. Кустанай 2010.
Содержание
Введение
Основные понятия и определения
1. Линейные пространства
2. Нормированные пространства
3. Банаховы пространства
4. Компактные множества
Введение
В данной работе изучаются такие важные элементы функционального анализа как линейно-нормированные пространства.
Изучение пространств актуально в современном процессе изучения теорий функций и поэтому необходимо рассмотреть все основные аспекты теории нормированных пространств.
Цель: изучить структуру построения нормированного пространства, рассмотреть банахово пространство.
Для того чтобы определить роль нормированных пространств, необходимо рассмотреть понятие линейного пространства и что оно собой представляет. На основе линейного пространства можно перейти к изучению нормы, а затем ввести понятие «нормированного пространства», определить, что является его подпространством.
Одной из поставленных задач является: развить понятие Банахова пространства. Для ее решения используется внутренняя логика развития теории нормированных пространств.
Основные понятия и определения
1. Линейные пространства
Определение: Непустое множество элементов называется линейным, если оно удовлетворяет таким условиям:
I. Для любых двух элементов определен единственный элемент, называемый суммой и обозначаемый, причем
1);
2);
3) в существует такой элемент 0, что для всех;
4) для каждого существует такой элемент, что.
II. Для любого числа и любого элемента определен элемент, причем
1);
2);
3);
4);
Примеры линейных пространств
1. Пространство действительных чисел является линейным пространством по операциям сложения и умножения.
2. – пространство, элементами которого являются последовательности чисел, удовлетворяющих условию с операциями,
3. Последовательности, сходящиеся к 0, с теми же операциями сложения и умножения, также образуют линейное пространство. Обозначаем его С0.
2. Нормированные пространства
Нормированные пространства объединяют структуры линейных пространств.
Будем рассматривать некоторое линейное пространство.
Полунормой называют функционал p, определённый на и удовлетворяющий следующим аксиомам:
1. (неотрицательность),
2. (аксиома треугольника),
3. для любого числа (абсолютная однородность).
Нормой называют функционал p, удовлетворяющий следующим аксиомам:
1.,
2.,
3. (аксиома треугольника),
4. для любого числа (абсолютная однородность).
Таким образом, норма - это полунорма, на которую наложено дополнительное условие: норма равна нулю только на нулевом элементе.
Определение: Нормированным пространством называют линейное пространство с заданной на нём нормой.
Норму элемента линейного пространства обозначают.
Любое нормированное пространство можно рассматривать как метрическое, если ввести в нём метрику следующим образом
Такую метрику называют метрикой, индуцированной нормой. Это означает, что на нормированные пространства можно перенести все понятия и факты, относящиеся к метрическим пространствам.
В частности, сходимостью по норме называется сходимость в метрике, индуцированной данной нормой.
Непрерывность линейных операций и нормы.
В нормированном пространстве сумма, произведение на число и норма непрерывны: если последовательности {xn} и {yn} сходятся по норме соответственно к x и y: и, а числовая последовательность {an} сходится к пределу a, то
Рассмотрим, сумму двух элементов:
Так как и, то правая часть неравенства сходится к нулю, а значит, к нулю сходится и его левая часть. Непрерывность суммы доказана.
Докажем теперь непрерывность умножения вектора на число. Для этого нам нужно доказать, что числовая последовательность сходится к нулю. Представим разность anxn − ax следующим образом:
Согласно аксиоме треугольника для нормы:
Рассмотрим каждое из слагаемых по отдельности:
Таким образом, мы установили, что непрерывность операции умножения на число доказана.
Наконец, докажем непрерывность нормы. Каждый элемент xn можно представить в виде
xn = (xn − x) + x, по аксиоме треугольника:
или
Аналогично можно доказать, что объединяя два этих неравенства, получим:
По определению сходимости по норме, значит, то есть.
Непрерывность нормы доказана.
Примеры нормированных пространств
1. Вещественная прямая R1 является нормированным пространством, если в качестве нормы взять модуль вещественного числа.
2. В действительном конечномерном пространстве Rn норму можно ввести нескольким способами. Наиболее широко известна Евклидова норма:
Другие возможные нормы:
В комплексном n-мерном пространстве норму можно ввести следующим образом:
3. В пространстве непрерывных на отрезка [a,b] функций C[a,b] норму можно задать формулой
4. Пусть М – пространство ограниченных числовых последовательностей
Х = (х1,х2,…,хп,…), положим:
||x||=sup|xn|.
Подпространства нормированного пространства
Рассматривая линейные пространства (без нормы), мы называли подпространством непустое множество L0 обладающее тем свойством, что если этому множеству принадлежат два элемента x и y пространства L, то любая линейная комбинация этих элементов также принадлежат этому множеству:
Подпространством нормированного пространства мы будем называть только замкнутое подпространства.
Определение: Линейным замыканием системы элементов {xn} или подпространством нормированного пространства, порождённым системой элементов {xn}, называется наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все элементы данной системы.
Произвольную (то есть не обязательно замкнутую) совокупность элементов, содержащую вместе с x и y произвольную их линейную комбинацию ax + by будем называть линейным многообразием.
Система элементов нормированного пространства R называется полной, если её линейное замыкание есть само R.
Фактор-пространства нормированного пространства.
Пусть R — линейное нормированное пространство, а R' — некоторое его подпространство. Рассмотрим фактор пространство
З = R / R'.
Как известно, фактор-пространство является линейным пространством.
В этом пространстве можно ввести норму, положив для данного класса
Докажем, что все аксиомы нормы действительно выполняются.
Так как, то и Нулевым элементом з0 фактор-пространства R / R' является подпространство R'. Так как всякое подпространство должно содержать нулевой элемент, то
Обратно, если, то из непрерывности нормы следует, что в классе з можно указать последовательность элементов, сходящихся к нулевому элементу, но так как в подпространство линейного пространство замкнуто по определению, то замкнуты все классы смежности, а значит
з = R' = з0
Для всякого элемента и числа имеет место равенство
Возьмём слева и справа нижнюю грань по з:
С другой стороны, в силу того, что фактор-пространство является линейным пространством, имеет место равенство
Рассмотрим два класса смежности выберем в каждом классе по представителю
Тогда возьмём нижнюю грань от левой и правой части этого неравенства:
Таким образом, все аксиомы нормы действительно выполнены.
3. Банаховы пространства
Определение: Расстоянием (метрикой) между двумя элементами и называется вещественное неотрицательное число, обозначаемое и подчиненное трем аксиомам:
1);
2);
3);
Определение: Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если при
Справедливы утверждения:
1. Если последовательность сходится к некоторому пределу, то она фундаментальна
Доказательство: пусть, тогда, при
2. Всякая фундаментальная последовательность ограничена
Определим расстояние в нормированном пространстве, полагая для любых. Тогда означает, что . Это сходимость по норме.
Фундаментальная последовательность в нормированном пространстве в соответствии с определением расстояния характеризуется условием, при
Определение: Нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел.
Определение: Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.
Литература
1. Колмогоров, А.Н. Элементы теорий функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. ¬¬– М.: Физматлит, 1967.
2. Князев, П.Н. Функциональный анализ / П.Н. Князев– Изд. 2, перераб. М., 1979.
3. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа/ Л.А. Люстерник В.И. Соболев– М., 1980.