Теорія систем та системний аналіз (стр. 2 из 4)
1.4 Модифіковані порядкові шкали
Досвід роботи з сильними шкалами та бажання зменшити відносність порядкових шкал, додати їм хоча б зовнішньої незалежності від вимірюваних величин спонукають дослідників до різних модифікацій, які дещо посилюють порядкові шкали. Іще одна важлива причина спроб посилити шкали полягає в тому, що багато вимірюваних у порядкових (принципово дискретних) шкалах величин мають дійсний або уявний неперервний характер: сила вітру чи землетрусу, твердість речовини, глибина та міцність знань, оволодіння навичками тощо. Сама можливість уведення між двома значеннями третьогосприяє тому, щоб намагатися підсилити шкалу.
Усе це зумовило появу та використання на практиці низки порядкових шкал, але не в такому строгому розумінні, як ті, про які йшлося вище. При цьому іноді з отриманими даними поводяться як із числами, що спричиняє помилки та неправильні рішення. Розглянемо деякі з відомих модифікацій.
Шкала твердості за Моосом. Із двох мінералів твердіший той, котрий залишає на іншому подряпини чи вм'ятини після досить сильного зіткнення. Відношення "А твердіше ніж 5" — типове відношення порядку. У 1811 р. німецький мінералог Ф. Моос запропонував запровадити стандартну шкалу для визначення відносної твердості методом дряпання. Як еталони взято 10 мінералів, розміщених у порядку висхідної твердості: 1 — тальк, 2 — гіпс, 3 — кальцит, 4 — флюорит, 5 — апатит, 6 — ортоклаз, 7 — кварц, 8 — топаз, 9 — корунд, 10 — алмаз.
Шкала сили вітру за Ботфортом. У 1806 р. Ф. Ботфорт запропонував умовну 12-бальну шкалу для оцінки сили вітру за його дією на наземні предмети та за хвилюванням моря: 0 — штиль(затишшя), 4 — помірний вітер, 6 — сильний вітер, 10 — буря (шторм), 12 балів — ураган.
Шкала магнітуд землетрусів за Ріхтером. Американський сейсмолог Ч. Ріхтер у 1935 р. запропонував класифікацію землетрусів за магнітудами, що базується на оцінці енергії сейсмічних хвиль, які виникають під час землетрусів, і разом із Б. Гуттенбергом теоретично обґрунтував її в 1941-1945 рр. Співвідношення між магні-тудою землетрусу за шкалою Ріхтера та його силою в епіцентрі за 12-бальною шкалою залежить від глибини поштовху.
Бальні шкали оцінки знань учнів. Потреба суспільства в офіційному визначенні ступеня кваліфікованості тих, хто вчиться, незалежно від того, де, коли та як вони здобувають освіту, сприяла запровадженню загальноприйнятих шкал оцінювання знань учнів у балах. Усі відчувають, зокрема й на власному досвіді, неточність, приблизність цієї шкали. Один із методів поліпшення шкали балів полягає в збільшенні кількості градацій. Однак і це не розв'язує проблеми, і викладачі неофіційно (для себе) уводять додаткові градації — додають до балів плюси, мінуси, крапки. Навіть застосовуючи100-бальну шкалу, деякі викладачі використовують дробові бали. Усе це відбувається тому, що не існує ні абсолютного взірця, єдиного для всіх людей, ні навіть умовного загальнодоступного стандарту на зразок еталонів твердості чи висоти хвиль, і знання можна оцінювати тільки в порядковій шкалі. Проте мало хто (не тільки з учнів, але й з викладачів) розуміє, що бальна шкала належить до класу порядкових. Доходить до того, що навіть в офіційних питаннях, що впливають на долі людей, підраховують середньоарифметичний бал — величину, що не має змісту в порядковій шкалі! Порядкова шкала Черчмена й Акоффа. У соціологічних дослідженнях часто виявляється корисним запропонувати опитуваному не тільки впорядкувати заданий перелік альтернатив, але й зазначити, хоча б грубо, силу переваги. Проілюструємо цей метод вимірювання на прикладі.
Нехай є чотири предмети. Спочатку опитуваний упорядковує їх за перевагою: А ≥ В ≥С≥D ). Потім його просять поставити у відповідність (приписати) предметам будь-які числа між нулем і одиницею, грубо виразивши "силу" переваги. Нехай результат такий:
| A | B | C | D |
| 1.00 | 0.85 | 0.75 | 0.20 |
За допомогою подальших запитань намагаються отримати дійсну шкалу переваг опитуваного. Наприклад, виявляють, що для нього переважає — А чи В, С та D разом узяті. Результат потрібно відобразити у вагових коефіцієнтах. Роблять припущення, що ваговий коефіцієнт сукупності альтернатив дорівнює сумі їх вагових коефіцієнтів. Якщо, наприклад, А > В ∩ С ∩ D, приписують нові коефіцієнти:
| A | B | C | D |
| 1.00 | 0.65 | 0.20 | 0.10 |
Далі запитують, як можна впорядкувати В та С∩ D. Якщо, на думку опитуваного, С∩ D > В, то зменшують вагу В так, щоб вонабула меншою ніж сума ваг С та D:
| A | B | C | D |
| 1.00 | 0.25 | 0.20 | 0.10 |
Інші початкові ваги для тих самих запитань і відповідей можуть залишатися незмінними, якщо вони відразу відповідали зазначеним вимогам. Щоб зменшити кількість перебраних комбінацій під час уточнення шкали, автори методу пропонують приписувати найкращій альтернативі одиничну вагу, а інші групувати по три та діяти за описаною методикою.
Основний предмет критики порядкової шкали Черчмена й Акоффа — припущення про адитивність ваг переваги. У психології ця умова нерідко не виконується: опитуваний може оцінювати хліб із маслом інакше, ніж сумою ваг хліба та масла окремо.
1.5 Шкали інтервалів
Якщо можна впорядкувати об'єкти настільки точно, що відомі відстані між будь-якими двома з них, то вимірювання виявиться помітно сильнішим, ніж у шкалі порядку. Природно виражати всі відстані хоча й у довільних одиницях, але однакових уздовж усієї шкали. Це означає, що рівні інтервали вимірюють однаковими за довжиною відрізками шкали, хоч де вони розміщені. Наслідок такої рівномірності шкал цього класу — незалежність відношення двох інтервалів від того, у якій шкалі їх вимірювали (тобто яка одиниця довжини інтервалу та яке значення взято як початок відліку). Справді, якщо два інтервали в одній шкалі виражаються числами Δ1х і Δ2х, а за іншого вибору нуля й одиниці — числами Δ1у і Δ2у, то, оскільки це ті самі інтервали, маємо
, звідки випливає, що введені шкали можуть мати довільні початки відліку й одиниці довжини, а зв'язок між показниками в них лінійний: 
Це відношення можна виразити словами: "шкала інтервалів єдина з точністю до лінійних перетворень". Побудовані таким способом шкали називаються інтервальними.
Назва "шкала інтервалів" свідчить про те, що в цій шкалі тільки Інтервали мають зміст дійсних чисел і тільки над ними можна виконувати арифметичні операції: якщо виконати операції над самими відліками на шкалі, забувши про їх відносність, то можна одержати безглузді результати. Наприклад, якщо сказати, що температура води збільшилася вдвічі після її нагрівання від 9 до 18° за шкалою Цельсія, то для тих, хто звик користуватися шкалою Фаренгейта, це буде звучати дуже дивно, тому що в цій шкалі температура води в тому самому досліді змінилася від 37 до 42°.
Крім обчислення значення символу Кронекера та рангу спостереження єдина нова допустима операція над спостереженнями в інтер-вальній шкалі — визначення інтервалу між ними. Над інтервалами ж можна виконувати будь-які арифметичні операції, а також застосовувати всі придатні способи статистичної й іншої обробки даних.
Приклади величин, які за фізичною природою не мають абсолютного нуля чи допускають свободу вибору в установленні початку відліку й тому вимірюються в інтервальних шкалах, — температура, час, висота місцевості.
1.6 Шкали відношень
Нехай спостережувані величини задовольняють не тільки аксіомам 4 та 5, але й аксіомам адитивності:
якщо А = Р та В > 0, то А + В > Р;
А + В = В + А;
якщо А = Р та ,В = Q,то А + В = Р +Q;
(А + В) + С = А + (В + С).
Це істотно посилює шкалу: результати вимірювань у ній — "повноправні" числа; над ними можна виконувати будь-які арифметичні дії, тому що віднімання, множення та ділення — лише частинні випадки додавання. Запроваджена таким способом шкала називається шкалою відношень. Цей клас шкал має таку особливість:відношення двох значень вимірюваної величини не залежить від того, у якій шкалі зроблено вимірювання: x1/x2 =y1/y2.
Цій вимозі задовольняє співвідношення вигляду у = ах (а ≠ 0). Отже, величини, вимірювані в шкалі відношень, мають природний, абсолютний нуль, хоча залишається свобода у виборі одиниць. Приклади таких величин — довжина, маса, електричний опір, вартість.
1.7 Шкали різниць
До шкал, єдиних з точністю до лінійних перетворень, належать шкала інтервалів
(у = ах + b, а > 0,-∞< b < +∞