Смекни!
smekni.com

Многомерная геометрия (стр. 10 из 16)

Пример. В трехмерном евклидовом пространстве с заданной декартовой прямоугольной системой координат (

) рассмотрим прямоугольные параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям. Пусть (
) – координаты центра параллелепипеда,
– длины его ребер, параллельных осям
соответственно. Обозначим через
множество тех параллелепипедов указанного вида, центры которых лежат в кубе
,
,
, длины ребер не превышают
. Каждому параллелепипеду из множества
можно поставить в соответствие точку шестимерного аффинного пространства
с координатами (
,
). Тогда само множество
можно рассматривать как шестимерный параллелепипед.

,
,
,

,
,
.

Затем, что геометрические фигуры одного пространства часто бывает удобно рассматривать как точки другого пространства.

Определение. Множество точек в аффинном пространстве

называется ограниченным, если координаты всех точек этого множества удовлетворяют неравенству
(
> 0 – некоторое число).

Это определение не зависит от выбора аффинной системы координат. Множество ограниченно в том и только в том случае, если оно содержится в некотором параллелепипеде.

Определение. Выпуклой оболочкой множества

точек в аффинном пространстве
называется такое выпуклое множество
, которое содержится в любом выпуклом множестве, содержащем
.

Пример. 1) Выпуклой оболочкой двух точек

,
является отрезок
.

2) Выпуклая оболочка любого конечного числа точек является ограниченным выпуклым многогранником, а конечная система точек – его вершинами.

Пусть в аффинном пространстве

даны точки
с радиус-векторами
соответственно.

Определение. Выпуклая оболочка системы точек

, находящихся в общем положении, называется
-мерным симплексом с вершинами
.

Симплекс с вершинами

при
. При этом числа
называются барицентрическими координатами точки симплекса, имеющей радиус-вектор
.

Частные случаи:

нульмерный симплекс – одна точка;

одномерный симплекс - отрезок;

двумерный симплекс – треугольник;

трехмерный симплекс – треугольная пирамида.

Точка симплекса, в которой все барицентрические координаты равны между собой

, называется центром симплекса.

Пусть

- симплекс с вершинами
; и пусть
- какой-нибудь из его вершин.
-мерный симплекс, который является выпуклой оболочкой вершин
называется
-мерной гранью симплекса
. Одномерные грани, то есть отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами симплекса.

Две грани размерности

и
-
называются противоположными гранями симплекса
, если они не имеют общих вершин.

В качестве упражнений докажем, что симплекс является выпуклой оболочкой пары противоположных граней, и что противоположные грани симплекса всегда располагаются в скрещивающихся плоскостях и что отрезок, соединяющий центры противоположных граней, проходит через центр симплекса.

Докажем, что

-мерный симплекс в
-мерном пространстве представляет собой пересечение замкнутых подпространств в числе
.