Пример. В трехмерном евклидовом пространстве с заданной декартовой прямоугольной системой координат (
) рассмотрим прямоугольные параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям. Пусть ( ) – координаты центра параллелепипеда, – длины его ребер, параллельных осям соответственно. Обозначим через множество тех параллелепипедов указанного вида, центры которых лежат в кубе , , , длины ребер не превышают . Каждому параллелепипеду из множества можно поставить в соответствие точку шестимерного аффинного пространства с координатами ( , ). Тогда само множество можно рассматривать как шестимерный параллелепипед. , , , , , .Затем, что геометрические фигуры одного пространства часто бывает удобно рассматривать как точки другого пространства.
Определение. Множество точек в аффинном пространстве
называется ограниченным, если координаты всех точек этого множества удовлетворяют неравенству ( > 0 – некоторое число).Это определение не зависит от выбора аффинной системы координат. Множество ограниченно в том и только в том случае, если оно содержится в некотором параллелепипеде.
Определение. Выпуклой оболочкой множества
точек в аффинном пространстве называется такое выпуклое множество , которое содержится в любом выпуклом множестве, содержащем .Пример. 1) Выпуклой оболочкой двух точек
, является отрезок .2) Выпуклая оболочка любого конечного числа точек является ограниченным выпуклым многогранником, а конечная система точек – его вершинами.
Пусть в аффинном пространстве
даны точки с радиус-векторами соответственно.Определение. Выпуклая оболочка системы точек
, находящихся в общем положении, называется -мерным симплексом с вершинами .Симплекс с вершинами
при . При этом числа называются барицентрическими координатами точки симплекса, имеющей радиус-вектор .Частные случаи:
нульмерный симплекс – одна точка;
одномерный симплекс - отрезок;
двумерный симплекс – треугольник;
трехмерный симплекс – треугольная пирамида.
Точка симплекса, в которой все барицентрические координаты равны между собой
, называется центром симплекса.Пусть
- симплекс с вершинами ; и пусть - какой-нибудь из его вершин. -мерный симплекс, который является выпуклой оболочкой вершин называется -мерной гранью симплекса . Одномерные грани, то есть отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами симплекса.Две грани размерности
и - называются противоположными гранями симплекса , если они не имеют общих вершин.В качестве упражнений докажем, что симплекс является выпуклой оболочкой пары противоположных граней, и что противоположные грани симплекса всегда располагаются в скрещивающихся плоскостях и что отрезок, соединяющий центры противоположных граней, проходит через центр симплекса.
Докажем, что
-мерный симплекс в -мерном пространстве представляет собой пересечение замкнутых подпространств в числе .