Многомерная геометрия (стр. 11 из 16)
Пусть
- вершины симплекса 
. Примем 
за начало координат, базис выберем следующим образом: 
, 
, …, 
.Тогда соотношения при
в координатах примут вид 
(7.13)откуда следует, что
(7.14)С другой стороны, из (7.14) вытекает (7.13),если положить
для 
, 
. Таким образом, системы (7.13) и (7.14) эквивалентны и задают один и тот же симплекс . (при 
=3). 
Рис. 26
Система неравенств (7.14) показывает, пересечением каких полупространств образован симплекс
.Выше говорилось, что многогранник можно представить в виде куска пространства, «высеченного» несколькими гиперплоскостями.
Отметим попутно, что слово «симплекс» (simplex) в переводе с латинского означает «простой».
В следующем параграфе данной главы состоится знакомство с
-симплексами в пространстве.§8. K-симплексы в пространстве
1. Симплексы
Если заданы
точек 
не лежащих в одной ( 
) –плоскости, то точки, определяемые радиус-векторами 
, (8.1)где индекс
пробегает значения от 0 до , а параметры 
связаны условием 
(8.2)образуют
- симплекс с вершинами 
, который будем называть - симплексом 
.На рисунке 23 а, б, и в изображен 2 - симплекс (треугольник) 
3 – симплекс (тетраэдр) 
и 4 – симплекс 
. 
Рис. 27
Грани симплекса.
Если в уравнении (8.1) один из параметров
равен 0, получаем 
- симплекс, называемый гранью - симплекса. Грани этих - симплексов называются 
- гранями - симплекса, грани этих -симплексов называются 
- гранями - симплекса и т.д. Таким образом, - симплекс обладает 
- гранями, где пробегает значения от 0 до ; 0 – грани - симплекса совпадают с его вершинами, 1-грани называются ребрами (при - сторонами). На рисунке 3, а стороны треугольника – 3 отрезка 
; на рисунке 3, б ребра тетраэдра - 6 отрезков 
, 2–грани-4треугольника А0А1А2, 
; на рисунке 3, в - ребра 4 – симплекса - 10 отрезков 
, 
, 
, 2 – грани - 10 треугольников 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 3-грани - 5 тетраэдров 
, 
, 
, 
, 
.Если представим векторы
в виде 
, то формулу (1) можно переписать в виде 
, где параметры 
ограничены условиями 0 
, 
.Так как любая система
вершин - симплекса определяет - грань симплекса, число 
- граней симплекса равно числу сочетаний из 
по , т.е. = 
. (8.3)