Многомерная геометрия (стр. 12 из 16)
2. Объем симплекса.
Прежде всего покажем, что объем
произвольного 
- симплекса выражается через объем 
одной из его 
- граней и расстояния 
от вершины, лежащей против этой грани, до плоскости этой грани по формуле 
. (8.4) 
Если будем называть выделенную -грань - симплекса его основанием, а расстояние - его высотой, то формула (8.4) показывает, что объем - симплекса равен 
произведение его основания на высоту. Пусть основание k – симплекса 
(на рисунке 28 изображается 
при 
)Проведем плоскость, параллельную плоскости
- грани на расстоянии 
от нее. Это плоскость высечет из нашего k – симплекса -симплекс 
и отсечет от него k – симплекс 
, Обозначим -симплекса через 
, то формулу для определения объема k – симплекса можно записать в виде 
. (8.5)Так как k – симплекса
может быть получен из k – симплекса гомотетией с центром в вершине 
и с коэффициентом 
получается из - грани той же гомотетией. Так как матрица гомотетии, отображающей - грань на - грань 
является матрицей -20 порядка вида 
, определить этой матрицы равен 
и объем 
может быть записан в виде 
.Поэтому
.Применяя формулу (4) к объему
- грани, выразим этот объем через объем 
одной из ее 
- граней и соответственную высоту 
этой - грани. Аналогично выразим объемы , 
, … , 
и площадь 
, вложенных друг в друга - грани, 
- грани, …, 3-грани и 2-грани симплекса через объемы , …, , площадь и длину 
одного из ребер - симплекса и соответственные высоты 
, 
, … , 
этих граней, получим что 
.В том случае, когда k – симплекс определяется уравнением (1), где
, произведение 
… равно объему k – параллелепипеда, определяемого уравнением 
с векторами 
при 0 
, поэтому объем 
k – симплекса связан с объемом 
соответствующего k – параллелепипеда соотношением = 
. (8.6)Так как квадрат объема
в силу (7.6 из § 7) равен определителю Грамма, составленному из вектора , из формулы (8.6) вытекает, что объем k – симплекса, определяемого уравнением (8.1), где 
, определяется соотношением 
(8.7)Объем
– симплексa, определяемого уравнением (8.1) при = , где , равен 
= 
, (8.8)квадрат косого произведения (
) равен определителю Грамма, составленному из векторов .