3. Аффинность k – симплексов.
Если даны два произвольных k – симплекса
и , то системы их вершин определяют аффинное преобразование, переводящее первую из этих систем вершин во вторую.Так как при аффинном преобразовании плоскости переходят в плоскости, это аффинное преобразование переводит весь k – симплекс
в k – симплекс . Поэтому всякие два k – симплекса аффинны.Относительный объем k – симплекса, определяемого уравнением (8.1) при
= , где , выражается по формуле при аффинном преобразовании с оператором умножается на определитель матрицы оператора , получаем, что при аффинном преобразовании относительные объемы всех k – симплексов умножаются на определитель матрицы этого аффинного преобразования, т.е. если k – симплекс с относительным объемом переходит при аффинном преобразовании с матрицей в k – симплекс с объемом , то, так же как в случае k – параллелепипедов, = . (8.9)Отсюда вытекает, что отношения объемов k – симплексов не изменяются при аффинных преобразованиях.
Правильный k – симплекс
Определение правильных многоугольников и многогранников позволяет определить правильный k – симплекс.
Прежде всего построим правильный k – симплекс. Правильный k – симплекс при
= 2 – равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник с центром в начале координат и со стороной на прямой имеет вершины в точках с координатами , и .Рис. 29
Для построения правильного k – симплекса
с центром в начале системы прямоугольных координат и с гранью на плоскости предположим, что мы построили аналитичный правильный - симплекс.Так как центр О k – симплекса делит отрезок прямой
между точкой и плоскостью в отношении : 1, а прямая совпадает с -ой координатной осью, вершина имеет координаты (0, 0, 0, … ); -е координаты вершин равны – 1, а первые -1 координаты этих вершин можно получить из координат вершин ( -1) - симплекса умножением их на такой множитель , чтобы все расстояния , , …, = =Расстояние от центра построенного
- симплекса до его ( -1) – граней равно 1, а расстояние от того же центра до вершин этого - симплекса равно . Длина каждого из ребер этого - симплекса равна . Из определения правильного - симплекса видно, что все - грани правильного - симплекса являются правильными - симплексами.Рис.30
На рисунке изображен правильный (
-1) – симплекс ( = 4)Объем правильного - симплекса.
Вычислим объем построенного правильного симплекса. Так как объем основания этого
- симплекса равен произведению , а высота этого - симплекса равна +1, получаем, что . .При
= 2 формула дает нам .При
= 3 формула .Объем правильного
- симплекса, ( -1) – грани которого находятся на расстоянии от его центра, равен .Называть k-мерной сферой евклидова k-пространства или k-сферой этого пространства множество всех точек этого пространства, лежащих в одной (k + 1)-плоскости и отстоящих от данной точки, называемой центром k-сферы, на одном и том же расстоянии, называемом радиусом k-сферы.
При k = n– 1 k-сфера определяется как множество всех точек пространства, отстоящих от одной точки на одном и том же расстоянии: в дальнейшем, говоря «сфера», будем иметь в виду (n– 1)-сферу. При k = 1, k-сфера называется окружностью.
Если радиус (k– 1)-сферы равен R, то множество всех точек k-плоскости этой (k– 1)-cферы, находящихся от центра (k– 1)-cферы на расстоянии
, называется k-шаром. При k = nn-шар определяется как множество всех точек n-пространства, отстоящих от центра сферы на расстоянии . В дальнейшем, говоря «шар», будем иметь в виду n-шар. При k = 2 k-шар называется кругом.