Смекни!
smekni.com

Многомерная геометрия (стр. 13 из 16)

3. Аффинность k – симплексов.

Если даны два произвольных k – симплекса

и
, то системы их вершин определяют аффинное преобразование, переводящее первую из этих систем вершин во вторую.

Так как при аффинном преобразовании плоскости переходят в плоскости, это аффинное преобразование переводит весь k – симплекс

в k – симплекс
. Поэтому всякие два k – симплекса аффинны.

Относительный объем k – симплекса, определяемого уравнением (8.1) при

=
, где
, выражается по формуле при аффинном преобразовании с оператором
умножается на определитель матрицы оператора
, получаем, что при аффинном преобразовании относительные объемы всех k – симплексов умножаются на определитель матрицы этого аффинного преобразования, т.е. если k – симплекс с относительным объемом
переходит при аффинном преобразовании с матрицей
в k – симплекс с объемом
, то, так же как в случае k – параллелепипедов,

=
. (8.9)

Отсюда вытекает, что отношения объемов k – симплексов не изменяются при аффинных преобразованиях.

Правильный k – симплекс

Определение правильных многоугольников и многогранников позволяет определить правильный k – симплекс.

Прежде всего построим правильный k – симплекс. Правильный k – симплекс при

= 2 – равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник
с центром в начале координат и со стороной
на прямой
имеет вершины в точках с координатами
,
и
.


Рис. 29

Для построения правильного k – симплекса

с центром в начале системы прямоугольных координат и с гранью
на плоскости
предположим, что мы построили аналитичный правильный
- симплекс.

Так как центр О k – симплекса делит отрезок прямой

между точкой
и плоскостью
в отношении
: 1, а прямая
совпадает с
-ой координатной осью, вершина
имеет координаты (0, 0, 0, …
);
-е координаты вершин
равны – 1, а первые
-1 координаты этих вершин можно получить из координат вершин (
-1) - симплекса
умножением их на такой множитель
, чтобы все расстояния
,
, …,
=
=

Расстояние от центра построенного

- симплекса
до его (
-1) – граней равно 1, а расстояние от того же центра до вершин этого
- симплекса равно
. Длина каждого из ребер этого
- симплекса равна
.

Из определения правильного
- симплекса видно, что все
- грани правильного
- симплекса являются правильными
- симплексами.

Рис.30

На рисунке изображен правильный (

-1) – симплекс (
= 4)

Объем правильного

- симплекса.

Вычислим объем построенного правильного симплекса. Так как объем основания этого

- симплекса равен произведению
, а высота этого
- симплекса равна
+1, получаем, что

.

.

При

= 2 формула дает нам
.

При

= 3 формула
.

Объем правильного

- симплекса, (
-1) – грани которого находятся на расстоянии
от его центра, равен

.

§ 9. K-шары в пространстве

Называть k-мерной сферой евклидова k-пространства или k-сферой этого пространства множество всех точек этого пространства, лежащих в одной (k + 1)-плоскости и отстоящих от данной точки, называемой центром k-сферы, на одном и том же расстоянии, называемом радиусом k-сферы.

При k = n– 1 k-сфера определяется как множество всех точек пространства, отстоящих от одной точки на одном и том же расстоянии: в дальнейшем, говоря «сфера», будем иметь в виду (n– 1)-сферу. При k = 1, k-сфера называется окружностью.

Если радиус (k– 1)-сферы равен R, то множество всех точек k-плоскости этой (k– 1)-cферы, находящихся от центра (k– 1)-cферы на расстоянии

, называется k-шаром. При k = nn-шар определяется как множество всех точек n-пространства, отстоящих от центра сферы на расстоянии
. В дальнейшем, говоря «шар», будем иметь в виду n-шар. При k = 2 k-шар называется кругом.