Многомерная геометрия (стр. 14 из 16)
Если центр сферы – точка М0(х0), а радиус равен R (рис. 31), радиус-вектор х произвольной точки М сферы связан условием, состоящим в том, что расстояние М0М равно R. Так как это расстояние равно модулю вектора
, т. е. 
, то уравнение сферы с центром в точке М0, и радиусом R имеет 
(9. 1)или, после возведения обеих частей уравнения (9. 1) в квадрат
(9. 2) 
Рис. 31
Уравнению (9. 2) не удовлетворяет радиус-вектор ни одной точки, для которой расстояние М0М не равно R, так как и расстояние М0М и радиус R – положительные числа.
Уравнение (9. 2) называется векторным уравнением сферы. Это уравнением сферы. Это уравнение является частным случаем векторного уравнения поверхности. Поэтому сфера является частным случаем уравнения поверхности, так как k-сферу можно рассматривать как сферу в (k + 1)-пространстве.
Так как k-сфера с центром в точке М0(х0) и радиусом в некоторой (k + 1)-плоскости является пересечением сферы с тем же центром и радиусом с указанной (k + 1)-плоскостью, уравнениями k-сферы является уравнение (9. 2) сферы с тем же центром и радиусом и уравнения (k + 1)-плоскости.
Если центр сферы находится в начале, х0=0, то уравнение (9. 2) примет вид
(9. 3)Уравнение (9. 2) можно переписать в виде
(9. 4)или, умножая обе части этого равенства на число а, в виде
(9. 5)Вектор
и число с в уравнении (9. 5) связаны с радис-вектором х0 центра сферы и её радиусом R соотношениями 
, 
(9. 6)Поэтому, если дано уравнение (9. 5) сферы, то центр и радиус этой сферы определяются соотношениями.
, 
(9. 7)Уравнение (9. 5) при а = 1, т. е. уравнение
(9. 8)называется нормальным уравнением сферы. В случае нормального уравнения сферы соотношения (9. 7) показывает, что, для того чтобы уравнение (9. 5) было уравнением сферы, необходимо выполнение неравенства
(9. 9)В случае, когда
, уравнению (9. 5) удовлетворяет только одна точка М0(х0), которую можно рассматривать как сферу нулевого радиуса. Для того, чтобы общее уравнение второй степени было бы уравнением сферы, необходимо выполнение неравенства, равносильного неравенству (9. 9).Геометрия k-сфер
1. Уравнение k-сфер
Определим k-сферы как пересечения сферы с (k+1)-плоскостью. Так как (k+1)-плоскость в свою очередь является пересечением n – k – 1 плоскостей, а каждая из этих плоскостей может быть заменена такой сферой, что указанная плоскость является радикальной плоскостью для этой сферы и данной сферы, k-сфера является пересечением n – kнезависимых сфер. Поэтому k – сферу можно задать n – k – уравнениями
В этом случае произвольная сфера, проходящая через данную k-сферу, определяется уравнением
(9. 10)При k = n – 2 совокупность сфер с уравнениями вида (9. 10) составляет пучок сфер.
Если даны две сферы
, 
,то совокупность сфер с уравнениями
называется пучком сфер,содержащем две сферы.
Уравнение при
является уравнением плоскости.Взаимное расположение двух k-сфер
Две k-сферы k-пространства без общих точек будем называть зацепленными, если всякая сфера, проходящая через одну из этих k-сфер, пересекается со всякой сферой, проходящей через другую k-сферу. Будем называть две k-сферы k-пространства без общих точек незацепленными, если существуют непересекающиеся сферы, проходящие через эти k-сферы.
На рисунке изображены различные виды взаимного расположения двух окружностей в 3-пространстве.
а) зацепление б) пересечение в точке
в) незацепление
Рис. 32
Объём сферы
Объём сферы радиуса r, который будем обозначать Sk, выражается интегралом
,в котором переменное
изменяется от 0 до 2p, а переменные 
(при i > 1) от 
до 
поэтому этот интеграл равен произведению k интегралов 
тогда объём Sk сферы радиуса r в k-пространстве при чётном n равен:
(9. 11)и для n чётного:
Формулы объёма дают при k = 2 (считая 0!! = 1), 3, 4 и 5 соответственно.
, 
.Объём шара
Объём шара радиуса r, который будем обозначать Vk, выражается интегралом
который с помощью интеграла (9. 11) для вычисления объёма сферы Sk может быть записан в виде
Поэтому объём Vk шара радиуса r в k-пространстве при чётном и нечётном n соответственно равен
, 
(9. 12)Формула (9. 12) дает при k = 2, 3, 4, 5 соответственно
, 
, 
, 
(9. 13)Глава III. Применения многомерной геометрии
§ 10. О необходимости введения многомерного пространства (на примерах задач)
В чём состоит польза многомерных пространств? Где они применяются? Зачем понадобилось расширять представления о пространстве от реального трёхмерного мира до столь далёких абстракций, которые нелегко и не сразу укладываются в сознании?
Для ответа на эти вопросы необходимо рассмотреть несколько примеров задач.
Пример 1. Сумма nчисел равна единице. Каковы должны быть эти числа, чтобы сумма их квадратов была наименьшей?
Рис. 33
Решение. Получим ответ на поставленный вопрос геометрическим путём, рассматривая сначала случай n = 2, затем n = 3, а потом обсудим ситуацию при n > 3.
Итак, пусть сначала n = 2. Иначе говоря, рассматривая числа х, у, удовлетворяющие условию х + у = 1, и требуется найти, в каком случае сумма квадратов х2 + у2 будет наименьшей. Уравнение х + у = 1 определяет на координатной плоскости прямую (рис. 33). Рассмотрим окружность S с центром в начале координат, которая касается этой прямой (точка А). Если точка М(х, у) прямой l отлична от А, то она лежит вне окружности S и поэтому | ОМ| больше радиуса r этой окружности, т. е.
. Если же М = А, то сумма х2 + у2 равна r, т.е. именно для точки А эта сумма принимает наименьшее значение. Точка А имеет координаты х = у = 1/2; это и есть решение поставленной алгебраической задачи при (n = 2).