Многомерная геометрия (стр. 2 из 16)
Тогда множество V называется действительным линейным векторным пространством или векторным пространством. Введённое определение не накладывает никаких ограничений на природу элементов множества V, поэтому могут существовать различные векторные пространства.
Примеры: Векторное пространство V1 – множество векторов на прямой; Векторное пространство V2 – множество векторов на плоскости; Векторное пространство V3 – множество векторов пространства трёх измерений; Множество различных многочленов от одной переменной также составляет векторное пространство. «Векторами» являются многочлены. Используя утверждения, что в обычном пространстве трёх измерений существует три линейно независимых вектора, то есть выполняется равенство:
, когда 
;Любая система, состоящая более, чем из 3-х векторов этого пространства, линейно зависима.
Продолжая строить аксиоматическую теорию векторных пространств, введём следующее определение.
Определение: Векторное пространство V называется n-мерным, если в нём выполняются аксиомы:
9. В векторном пространстве V существуют n линейно независимых векторов.
10. Любая система, состоящая более, чем из n векторов пространства V, линейно зависима.
Число n называется размерностью векторного пространства и обозначается символом dim V , а само пространство будем обозначать символом Vn. Базисом n-мерного векторного пространства Vn называется любая упорядоченная система векторов, таких, что система линейно независима; любой вектор пространства Vn является линейной комбинацией данной системы векторов. Базис не может иметь более трёх векторов и менее чем три вектора. Очевидно, что базис пространства V3 будем называть 3-мерным и обозначать В = (е1, е2, е3), где векторы е1, е2, е3 называются базисными. Из аксиом 9 и 10 следует, что в n-мерном векторном пространстве Vn существует хотя бы один базис, состоящий из n векторов. Можно доказать, что в Vn существует бесчисленное множество базисов и любой из них состоит из n векторов. N-мерный базис будем обозначать В = (е1, е2,…, еn), а векторы е1, е2,…, еn называть базисными. Следствие: Любая система, состоящая более чем из трёх векторов обычного пространства трёх измерений, линейно зависима.
§ 3. Евклидово векторное пространство
Строя аксиоматическую теорию аналитической геометрии на векторной основе, введём следующее определение.
Определение 1: Скалярным произведением на векторном пространстве V называется операция, которая любой паре векторов a и b ставит в соответствие некоторое действительное число, обозначаем символом ab и обладающее следующими свойствами:11. Для любых векторов a, b 
V и любого вектора ab= b а;12. Для любых двух векторов a, b V и любого числа
.13. Для любых трёх векторов a, b, c V 
;14. Для любого ненулевого вектора а Vaa>0.Определение 2: Векторное пространство Vn, в котором введена операция скалярного произведения векторов, удовлетворяющая аксиомам 11-14, называется евклидовым векторным пространством. Будем обозначать его символом Еn.
На основе определения 1 можно ввести понятие длины вектора и величины угла между векторами.
Число аа называется скалярным квадратом вектора а и обозначается а2. Из аксиомы 14 следует, что а2>0, следовательно,
- действительное положительное число. Оно называется длиной или нормой вектора и обозначается: 
. Если 1, то вектор а называется единичным.На основе аксиом 11-14 можно указать следующие утверждения: Для любых векторов a, b1, b2,…, bn выполняется равенство
. 
, где а – произвольный вектор;Если
, то 
, а если 
, то 
;Если 
, то 
.Можно показать, что если
, то вектор 
является единичным, его называют ортом вектора а. Он определяет то же направление, что и вектор а.При решении метрических задач, т. е. задач, связанных с измерением длин векторов и величин углов, пользуются ортонормированным базисом.
Определение: Базис называется ортонормированным, если все его векторы единичные и попарно ортогональны, т. е. если
и 
( 
) при 
.Теорема. В евклидовом пространстве Еn существуют ортонормированные базисы.
Действительно, если (а1, а2,…, аn) – ортогональный базис, то можно рассмотреть векторы
, 
,…, 
.Ясно, что базис (е1, е2,…, еn) ортонормированный, так как его векторы единичные и попарно ортогональны.
Введём обозначения: В=(i, j) или B=(i, j, k) – ортонормированные базисы евклидовых векторных пространств Е2 и Е3 соответственно.
§ 4. Понятие точечно-векторного аффинного n-мерного пространства
В § 2 и § 3 были аксиоматически определены различные векторные пространства: линейные векторные, n-мерные векторные, евклидовы векторные. Но для построения геометрии, то есть для рассмотрения различных геометрических фигур, одних векторов недостаточно, нужны ещё точки.
Аксиоматизируя построение вектора по двум точкам, введём следующее определение.
Определение. Аффинным пространством называют некоторое множество А* элементов произвольной природы, называемых точками, для которого задано
а) некоторое векторное пространство V;
б) отображение, которое любым двум точкам А и В
А* ставит в соответствие некоторый вектор из V, обозначаемый АВ.При этом требуется выполнение следующих аксиом:
15. Для любой точки А
А* и любого вектора А из V существует единственная точка В А* и любого вектора а V существует единственная точка В А*, такая что АВ=а.16. Для любых трёх точек А, В, С
A* имеет место равенство АВ+ВС=АС.Аксиома 15 называется аксиомой откладывания вектора от точки, а аксиома 16 – аксиомой треугольника, из которой следует правило треугольника и правило параллелограмма сложения векторов.