Многомерная геометрия (стр. 3 из 16)
Размерность пространства V называется размерностью соответствующего аффинного пространства А* и обозначается символом А*n.
Отметим некоторые важные следствия из аксиом 15-16.
При любом выборе точки А вектор АА нулевой.
Если АВ=0, то точки А и В совпадают.
Для любых точек А и ВАВ = - ВА.
Если АВ=СD, то АС=ВD.
Для произвольных точек А1, А2,…, Аn выполняется равенство А1А2+ А2А3+ Аn-1Аn= А1Аn (правило многоугольника сложения векторов).
Пространство А*n содержит бесчисленное множество точек.На основе аксиом 1-10 и 15-16 аффинной геометрии нельзя ввести понятий длин отрезков и величин (мер) углов. Эти понятия можно ввести, используя скалярное произведение векторов.
Как известно, введение в Vn скалярного произведения векторов приводит к евклидову векторному пространству Еn.
Определение. Аффинное пространство Аn*, в котором соответствующее ему векторное пространство Vn превращено в евклидово векторное пространство Еn, называется евклидовым n-мерным пространством.
Для этого пространства введём обозначение Еn. Согласно определению ясно, что всякое аффинное пространство Аn* можно превратить в евклидово пространство Еn, задавая на векторном пространстве Vn скалярное произведение векторов, удовлетворяющее аксиомам 11-14 (§ 3).
Таким образом, в Еn выполняются аксиомы 1-16.
На основе аксиом евклидова пространства строится евклидова геометрия.
В евклидовой геометрии, очевидно, справедлива вся изложенная выше теория аффинной геометрии. Но пространство Еn обладает метрическими свойствами, которые следуют из аксиом скалярного произведения векторов и связаны с измерением длин отрезков и мер углов. Поэтому евклидову геометрию называют ещё метрической геометрией.
Метрические аксиомы позволяют установить метрику евклидова пространства, т. е. расстояния между его точками. Определим сначала модуль |a| вектора а как неотрицательный корень из его квадрата, т. е.
(4.1)Векторы, модуль которых равен 1, будем называть единичными векторами; единичный вектор
будем обозначать а0.Будем считать расстоянием между точками А и В модуль вектора АВ; будем обозначать это расстоянием АВ.
Таким образом, расстояние АВ между точками А(х) и В(y) определяется соотношением
(4.2)Из определения расстояния следует, что
Расстояние симметрично, т. е.
АВ=ВА (4.3)
Расстояние позитивно, т. е. (4.4) AB ≥ 0, причём знак равно имеет место только при совпадении точек А и В.Покажем, что для расстояний между точками евклидова пространства помимо свойств 1 и 2 выполняется также «неравенство треугольника».расстояние между всякими двумя точками не более суммы расстояний между этими точками и третьей точкой, т. е.
АС ≤ АВ + ВС (4.5)
Множество точек, для всяких двух точек А и В которого определено число АВ, удовлетворяющего условиям 1-3, называется метрическим пространством. Для доказательства неравенства треугольника докажем так называемое неравенство Коши
(4.6)Скалярный квадрат вектора a – tb неотрицателен при любом вещественном t
, т. е. 
.В случае b = 0 обе части неравенства (4.6) равны 0, т. е. неравенство выполняется автоматически.
Если
, получим 
.Тогда неравенство примет вид
, т. е. 
,что равносильно неравенству (4.6). Рассмотрим три точки А(х), В(у) и С(z). Тогда
Рис. 1Но в силу неравенства Коши
. Поэтому 
, откуда получаем неравенство (4.5).Глава II. Многомерные геометрические образы в n-мерных пространствах
§ 5. Четырёхмерное пространство. Определение и его исследование
При построении геометрии на прямой, на плоскости и в трёхмерном пространстве есть две возможности: либо излагать материал с помощью наглядных представлений (этот способ характерен для школьного курса, поэтому трудно себе представить учебник геометрии без чертежей), либо – и эту возможность даёт нам метод координат – излагать его чисто аналитически, назвав, например, точкой плоскости в курсе планиметрии пару чисел (координаты этой точки), а точкой пространства – тройку чисел.При введении четырёхмерного пространства первая возможность у нас отсутствует. Мы не можем непосредственно пользоваться наглядными геометрическими представлениями – ведь окружающее нас пространство имеет всего три измерения. Однако вторая версия для нас не закрыта. В самом деле, мы определяем точку прямой как число, точку плоскости как пару чисел, точку трёхмерного пространства как тройку чисел. Поэтому совершенно естественно построить геометрию четырёхмерного пространства, определив точку этого воображаемого пространства как четвёрку чисел. Под геометрическими фигурами в таком пространстве нужно будет понимать некоторые множества точек (как, впрочем, и в случае обычной геометрии). Перейдём теперь к точным определениям.
Координатные оси и плоскости
Определение. Точкой четырёхмерного пространства называется упорядоченная четвёрка чисел (x, y, z, t).
Что считать в пространстве четырёх измерений координатными осями и сколько их?
Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на время к плоскости и трёхмерному пространству.
На плоскости (т. е. в пространстве двух измерений) координатные оси – это множества точек, у которых одна из координат может иметь одно числовое значение, а вторая равна нулю. Так, ось абсцисс – это множество точек вида (х, 0), где х – любое число. Например, на оси абсцисс лежат точки (1, 0), (-3, 0), а точка (1/5, 2) не лежит на оси абсцисс.
Рис. 2Ось ординат плоскости – это множество точек вида (0, у), где у – любое число. В трёхмерном пространстве есть три оси: ось х – это множество точек вида (х, 0, 0), где х – любое число; ось у – множество точек вида (0, у, 0), где у – любое число; ось z – множество точек вида (0, 0, z), где z – любое число.В четырёхмерном пространстве, состоящем из всех точек вида (x, y, z, t), где x, y, z, t– любые числа, естественно считать координатными осями такие множества точек, у которых одна из координат принимает любые числовые значения, а остальные равны нулю. Тогда ясно, что в четырёхмерном пространстве есть четыре координатные оси: ось х – это множество точек вида (х, 0, 0, 0), где х – любое число; ось у – множество точек вида (0, у, 0, 0), где у – любое число; ось z – множество точек вида (0, 0, z, 0), где z – любое число, где у – любое число; ось t – множество точек вида (0, 0, 0, t), где t – любое число. В трёхмерном пространстве, кроме координатных осей, имеются ещё координатные плоскости. Это – плоскости, проходящие через две какие-либо две координатные оси. Например, плоскость yz – это плоскость, проходящая через ось y и ось z.
Всего в трёхмерном пространстве есть три координатные плоскости:
плоскость xy – множество точек вида (х, у, 0), где х и у – любые числа;
плоскость yz – множество точек вида (х, 0, z), где х и z – любые числа;
плоскость yz – множество точек вида (0, у, z), где y и z – любые числа.
Естественно, и в четырёхмерном пространстве называть координатными плоскостями множество точек, у которых какие-либо две из четырёх координат принимают любые числовые значения, а остальные две равны нулю. Например, множество точек вида (x, 0, z, 0) мы будем называть координатной плоскостью xz четырёхмерного пространства. Сколько же всего таких плоскостей?
Выпишем их:
плоскость ху – множество точек, вида (х, у, 0, 0),
плоскость хz – множество точек, вида (х, 0, z, 0),
плоскость хt – множество точек, вида (х, 0, 0, t),
плоскость уz – множество точек, вида (0, у, z, 0),
плоскость уt – множество точек, вида (0, у, 0, t),
плоскость zt – множество точек, вида (0, 0, z, t).
Для каждой из этих плоскостей переменные координаты могут принимать любые числовые значения, в том числе и нулевое. Например, точка (5, 0, 0, 0) принадлежит плоскости xyи плоскости xt. Тогда легко видеть, что, например, плоскость yz «проходит» через ось у в том смысле, что каждая точка этой оси принадлежит этой плоскости. Действительно, любая точка на оси у, т. е. точка вида (0, у, 0, 0), принадлежит множеству точек вида (0, y, z, 0), т. е. плоскости yz.