Многомерная геометрия (стр. 5 из 16)

(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1).

Вершинами четырёхмерного куба:

, , называются точки (x, y, z, t), у которых x, y, z, t заменяются либо нулём, либо единицей. Таких вершин 16.

Рис. 8

Тогда рёбрами (трёхмерного) куба являются стороны.

Рис. 9

х = 0, у = 0,

(ребро АА₁)

, у = 0, z= 1 (ребро АB₁)

х = 1,

, z = 1 (ребро B₁А₁) и т. д.

Определение. Рёбрами четырёхмерного куба называется множество точек, для которых все координаты, кроме одной, постоянны (равны 0, либо 1), а четвёртая принимает все возможные значения от 0 до 1.

Прежде всего будем различать четыре группы рёбер: для первой пусть переменной координатой является х (

), а y, z, t принимают постоянные значения 0 и 1 во всех комбинациях. Так как существует 8 различных троек из нуля и единицы. Поэтому рёбер первой группы – 8. Рёбер второй группы, для которых переменной является не х, а у, тоже 8. Таким образом, ясно, что всего у четырёхмерного куба 32 ребра. Кроме рёбер у куба есть грани, которые, в свою очередь разделяются на двумерные и трёхмерные грани четырёхмерного куба. У четырёхмерного куба 24 двумерных грани и 8 – трёхмерных (они изображены параллелепипедами (рис. 10)).

4 - мерный куб Рис. 10

§ 6. Геометрия k-плоскостей в аффинном и евклидовом пространствах

Определение k-плоскости

Пусть в n-мерном аффинном пространстве U_n зафиксирована произвольная точка А, и в соответствующем линейном пространстве L_n зафиксировано произвольное k-мерное подпространство L_k.

Определение. Множество всех точек М аффинного пространства, для которых АМ

L_k, называют k-мерной плоскостью, проходящей через точку А в направлении подпространством L_k.

Рис. 11, где k = 2

Говорят также, что L_kесть направляющее подпространство этой плоскости. Очевидно, что каждая плоскость определяет однозначно своё направляющее пространство.

Точку М называют текущей точкой плоскости. На рисунке показаны три положения М₁, М₂, М₃ текущей точки М.

Частные случаи k-плоскостей

Если k = 0, то плоскость состоит из одной точки А. Поэтому каждую точку аффинного пространства можно рассматривать как нуль-мерную плоскость.

Одномерная плоскость называется прямой линией.

Плоскость размерности n – 1 называется гиперплоскостью.

При k = n плоскость совпадает со всем пространством U_n.

В определении плоскости выделена точка А. Докажем, что в действительности все точки плоскости равноправны.

Обозначим плоскость через П_k и зафиксируем произвольную точку В

. Надо доказать, что точка М принадлежит плоскости П_k тогда и только тогда, когда (т. е. что любая точка М может играть роль А).

Пусть

. По определению плоскости . Отсюда и по определению подпространства , поэтому . Обратно, если , то следовательно, .

Рис. 12

Теорема. Всякая k-мерная плоскость в аффинном пространстве сама является k-мерным аффинным пространством.

Доказательство. Пусть дано аффинное пространство U, которому соответствует линейное пространство L, пусть П_k – плоскость, проходящая через точку А в направлении подпространства L_k. Возьмём в плоскости П_k две произвольные точки M, N . По определению аффинного пространства им соответствует вектор

. По определению плоскости векторы АМ и АN принадлежат подпространству L_k.

Следовательно,

. Таким образом, каждой упорядоченной паре точек М, N плоскости П_k, поставим в соответствие вектор MN из k-мерного пространства L_k. При этом соблюдаются для П_k аксиомы, вытекающие из определения k-мерной плоскости и для всего аффинного пространства U. Теорема доказана.

Замечание. Если плоскость проходит через начало аффинной системы координат в направлении подпространства L_k, то совокупность радиус-векторов её точек образует подпространство, по определению совпадающее с подпространством L_k.

Пусть в аффинном пространстве U даны точки А₀, А₁,…, А_k(в числе k + 1). Эти точки находятся в общем положении, если они не принадлежат ни одной (k–1)-мерной плоскости .

Проверим, что точки А₀, А₁,…, А_k находятся в общем положении тогда и только тогда, когда векторы А₀А₁,…, А₀А_kлинейно независимы (рис. 13), причём безразлично, какую из точек брать в качестве А₀ (то есть за начало векторов, идущих из неё в другие точки).

Рис. 13

Из сказанного в этом пункте и из определения плоскости следует, что через систему точек А₀, А₁,…, А_k, находящихся в общем положении, проходит k-мерная плоскость и притом только одна.

Предположим, что в пространстве U_n зафиксирована какая-нибудь аффинная система координат с началом О и базисом е₁, е₂, …, е_n. Рассмотрим плоскость П_k, проходящую через точку А в направлении подпространства L_k.

Будем считать, что точка А имеет координаты р₁, р₂, …, р_n и что L_k задаётся как независимая система векторов q₁, q₂, …, q_k. Тогда радиус-вектор ОМ текущей точки плоскости можно записать в виде

(6. 1)

где параметры τ₁, τ₂, …, τ_k независимо друг от друга пробегают всевозможные числовые значения, а вектор

(рис. 14)

Рис. 14

Разложим вектор q₁, q₂, …, q_k по базису е₁, е₂, …, е_n:

Координаты текущей точки М обозначим, как обычно, через (x₁, x₂, …, x_n) и запишем векторное равенство в координатах. В результате получим n числовых равенств.

(6. 2)

Эти равенства называются параметрическими уравнениями плоскости П_k.

Пример. Пространство, изучаемое в стереометрии, является трёхмерным аффинным пространством. В нём одномерные и двумерные плоскости совпадают соответственно с прямыми линиями и плоскостями, понимаемыми в элементарно-геометрическом смысле. В отличие от пространства, изучаемого в элементарной геометрии, в аффинном пространстве не определены метрические понятия: расстояния между точками и длины линий, площади и объёмы фигур, углы и перпендикулярность. При исследовании фигур в аффинном пространстве изучаются лишь те геометрические свойства, которые не зависят от метрических понятий.

2. Уравнения k-плоскости по k+1 точкам

Если заданы k+1 точек А₀(х₀), А₁(х₁), …, А_n(х_n) и векторы А₀А_{а =} х_а – х₀ независимы, то эти точки определяют единственную k – плоскость, проходящую через них: в этом случае за направляющие векторы этой плоскости можно принять векторы А₀А_а и векторное уравнение k-плоскости можно записать в виде