Многомерная геометрия (стр. 8 из 16)
(7. 2)Если в том же уравнении (7. 1) придать всем параметрам
только значения 
, мы получим k-параллелепипед с вершинами
;2-параллелепипеды называются параллелограммами.
Условимся называть k-параллелепипед с вершинами А0, А1, А2, …, А12…k параллелепипедом А0А1 А2 … А12…k.
На рисунке 22 изображён 3-параллелепипед
А0А1 А2А3 А12 А13 А123
и параллелограмм А0А1 А2А12.
а) 
б)Рис. 22
2. Грани параллелепипеда
Придавая в уравнении (7. 1) значения
всем параметрам при 
, а параметру 
- значения 
или 
, мы получим (k- 1)-параллелепипеды, являющиеся гранями k-параллелепипеда. Грани этих (k- 1)-параллелепипедов называются (k- 2)-гранями k-параллелепипеда, грани этих (k–3)-гранями k-параллелепипеда и т. д. Таким образом, k-параллелепипед обладает р – гранями, где р – пробегает значения от 0 до k – 1, 0-грани параллелепипеда совпадают с его вершинами, 1-грани называются рёбрами (при m= 2 - сторонами). На рисунке 22 (а) стороны параллелограмма – четыре отрезка А0А1, А0А2, А0А3, А0А12, А1А13, А2А12, А2А23, А3А13, А12А123, А13А123, А23А123; 2-грани - шесть параллелограммов А0 А1 А1 А12, А0 А1 А3 А13, А0 А2 А3 А23, А1 А12 А13 А123, А2 А12 А23 А123, А3 А13 А23 А123.Число
р-граней k-параллелепипеда равно 
, где 
- число сочетаний из kпо р.3. Объём прямоугольного параллелепипеда
Определим объём прямоугольного k-параллелепипеда, то есть такого k-параллелепипеда, у которого все векторы ра попарно перпендикулярны. Длина любого отрезка прямоугольного k – параллелепипеда называется его измерением.
Объём прямоугольного k-параллелепипеда называется его измерением.
Объём прямоугольного k-параллелепипеда только постоянным множителем отличается от произведения его измерений, т. е. функция
отличается от произведения 
измерений прямоугольного параллелепипеда только постоянным множителем 
.В дальнейшем будем считать этот постоянный множитель равным 1, то есть будем считать, что объём Vk прямоугольного k –параллелепипеда равен произведению его измерений.
(7. 4)4. Объём произвольного параллелепипеда
Сравнивая прямоугольные k-параллелепипед и (k–1)-параллелепипед с объёмами, равному данному k-параллелепипеду и одной из его граней мы получим, что объём Vkk-параллелепипеда равен произведению объёма Vk-1 одной из его (k–1)-граней на расстояние hk между этой гранью и параллельной ей (k–1)-гранью.
(7. 5)Если назвать выделенную (k–1)-грань k-параллелепипеда его основанием, а расстояние hk его высотой, то формула (7. 5) показывает, что объём k-параллелепипеда равен произведению объёма его основания на высоту.
Объём Vkk-параллелепипеда, определяемого уравнением
, при , определяется соотношением 
,т. е. квадрат объёма этого параллелепипеда равен определителю Грамма, составленному из k векторов ра.
Утверждение очевидно при k =1, когда параллелепипед совпадает с отрезком, определяемым вектором р1, и объём этого параллелепипеда совпадает с длиной этого отрезка
, т. е. 
.Рассмотрим теперь k-параллелепипед и предположим, что наше утверждение справедливо для его (k – 1)-граней. Рассмотрим его (k – 1)-грань, определяемую уравнением
, при и 
. Тогда скалярный квадрат векторного произведения 
в k-плоскости k-параллелепипеда, равный определителю Грамма, составленному из k–1 векторов 
(а < k), равен объёму этой (k – 1)-грани. Так как объём Vkk-параллелепипеда равен произведению объёма Vk-1 этой (k–1)-грани на соответствующую высоту hk , то объём Vk равен 
, (7. 7)где j - угол между вектором рk и перпендикуляром к (k–1)-грани в k-плоскости k-параллелепипеда.
5. Аффинность k-параллелепипедов
Если даны два произвольных k-параллелепипеда А0 А1… Аk… А12…k и
В0 В1… Вk… В12…k, то системы точек А0, А1, … ,Аk и В0, В1, … ,Вk определяют аффинное преобразование, переводящее первые из этих точек во вторые. Так как при аффинном преобразовании плоскости переходят в плоскости, а параллельные плоскости в параллельные плоскости, это аффинное преобразование переводит весь k-параллелепипед А0 А1… Аk… А12…k в k-параллелепипед В0 В1… Вk… В12…k. Поэтому всякие два k-параллелепипеда аффинны.
Относительный объём k-параллелепипеда, определяемого уравнением
и , при аффинном преобразовании относительные величины преобразуются по формуле, то есть умножается на определитель матрицы этого аффинного преобразования, если k-параллелепипед с объёмом Vk переходит при аффинном преобразовании с матрицей 
в k-параллелепипед с объёмом 
, то 
(7. 8)Отсюда вытекает, что отношения относительных объёмов k-параллелепипедов не изменяются при аффинных преобразованиях.
Выпуклые многогранники
В этом пункте будем рассматривать действительное k-мерное аффинное пространство
, считая, что в нем дана аффинная система координат.Пусть через некоторую точку
имеющую координаты 
, проведена прямая в направлении вектора 
, 
координаты которого обозначим 
. Согласно изложенному ранее эту прямую можно задать параметрическими уравнениями 
, 
. (7.9)