Многомерная геометрия (стр. 9 из 16)

.

Пусть на прямой (9) выбраны какие-нибудь точки

и . Соответствующие им значения параметра обозначим и . Предположим, что < .

Определение. Множество точек прямой, удовлетворяющих неравенством

, называется отрезок .

Если точка

имеет координаты , точка имеет координаты , то в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор . Тогда , и для точки прямой имеем

, причем = 0 в точке , = 1 в точке , так что отрезок задается теперь неравенствами 0 1. Положим 1 = , = . Тогда для точек отрезка и только для них имеем , , (7.10)

, , .

Точка, в которой

, называется серединой отрезка .

Определение. Множество точек действительного аффинного пространства называется выпуклым, если вместе с каждыми двумя своими точками

, оно содержит отрезок .

Простейшими примерами выпуклых множеств могут служить: отрезок, плоскость любой размерности, все пространство

.

Множество, состоящее из одной точки, и пустое множество также считается выпуклыми.

Из определения следует, что пересечение любой совокупности выпуклых множеств само является выпуклым множеством. В самом деле, если точки

, принадлежат пересечению некоторой совокупности выпуклых множеств, то отрезок принадлежит каждому из них множеств, а значит, и их пересечению.

Пусть в пространстве

дана произвольная гиперплоскость

. (7.11)

Гиперплоскость (11) развивает пространство на две части, называемые открытыми полупространствами. Их точки характеризуются неравенствами

и соответственно. (7.12)

Присоединяя к открытому полупространству гиперплоскость (11), мы получим так называемое замкнутое полупространство. Одно из них состоит из точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам.

Существенно, что рассматриваемое пространство является действительным.

Каждое полупространство является выпуклым множеством.

Таким образом произвольная точка

принадлежит пространству (7, 12). Но точка на отрезке взята произвольно, значит, весь отрезок принадлежит пространству.

Определение. Пересечение конечного числа полупространств (если оно не пустое) называется выпуклым многогранником.

Ограничимся рассмотрением многогранников, образованных пересечением замкнутых полупространств. С наглядной точки зрения выпуклый многогранник представляет собой кусок пространства, высеченный несколькими гиперплоскостями. (

=3).

Рис. 23 Рис. 24

Может быть так, что многогранник целиком содержится в некоторой

-мерной плоскости < (при = 3, = 2).

Рис.25

Многогранник называется

-мерным параллелепипедом, если в некоторой аффинной системе координат он задается неравенствами

0

1, и построен на независимых векторах , приложенных к точке .

Где

- начало в координатах, и - базис. -мерный параллелепипед при = 1 представляет собой отрезок, при = 2 – параллелограмм.

Часть параллелепипеда (0

1, ), расположенная в какой-нибудь из гиперплоскостей = 0 или = 1, сама является ( - 1)-мерным параллелепипедом и называется ( - 1)-мерной гранью параллелепипеда.