Формування математичних понять в процесі викладання математики в основній школі (стр. 2 из 11)

Властивість щільності множини раціональних чисел не можна виявити за допомогою досліду, вона не підтверджується наочними геометричними уявленнями, а встановлюється логічно (абстрактно-дедуктивно). Цей та багато інших прикладів підтверджують висновки наших психологів про те, що сприйняття наочного матеріалу через об'єктивні особливості цього матеріалу може відігравати не лише позитивну, а й негативну роль.

1.2. Об’єкт, поняття. Схожість їх і різниця.

Поняття — це одна з основних форм мислення, в якій відображається суть предметів і явищ реального світу в їх істотних, необхідних ознаках і відношеннях.

Визначаючи поняття як одну з основних форм мислення, підкреслюють його роль та значення у пізнанні. Саме мислення можна тоді розглядати як оперування поняттями, оскільки перехід від чуттєвих ступенів пізнання до абстрактного мислення характеризується як перехід від відображення світу у формі відчуттів, сприймань і уявлень до відображення його в поняттях і на їх основі,— в судженнях і інших логічних категоріях.

Отже, можна сказати, що поняття — це «цілісна сукупність суджень про який-небудь об'єкт, ядром якої є судження, що відображають істотні ознаки об'єкта».

Поняття виникають на основі суспільної практики і є продуктом багаторічного історичного розвитку пізнавальної діяльності людини. Процес пізнання здійснюється у формі чуттєвого пізнання і в формі логічного мислення.

Уявлення відрізняються від понять тим, що вони виникають у нашій свідомості у вигляді наочних образів, тоді як поняття — це такі розумові утворення, які можуть також відображати і недостатні органам чуття, закономірні відношення між предметами.

Поняття закріплює в системі знань зміст, загальний для всіх людей, незалежно від того, як та чи інша людина уявляє собі цей предмет. На відміну від уявлень, поняття позбавлені конкретної наочності, їх матеріальною оболонкою є слово. Поза словом-терміном поняття не можуть ні виникнути, ні існувати.

Перша відмінна риса поняття — загальність. На відміну від чуттєвого пізнання, поняття втілює в собі все багатство конкретного одиничного і особливого. Чуттєві образи показують здебільшого одиничне, поняття відображає загальне, що є в самій дійсності. Поняття є могутнішим засобом пізнання, ніж форми чуттєвого пізнання. Правильні наукові абстракції відображають дійсність глибше, вірніше, повніше, ніж живе споглядання.

Форма і зміст поняття як протилежності складають єдине ціле. Логічна форма — це певний спосіб відображення предметів, відображення однотипних зв'язків і відношень між предметами. Вона взагалі як структура думки являє собою завжди відношення в думках між протилежностями, тобто між окремим, особливим ізагальним, у логічній формі поняття, судження і умовиводи мають різний характер. У формі поняття являє собою співвідношення між змістом і об'ємом поняття. В формі судження — це відношення між предметом думки і ознакою цього предмета. У формі умовиводу — це також відношення між предметом думки і його ознакою.

Коли за змістом поняття відображає суть того чи іншого конкретного предмета або групи предметів, то за своєю формою воно відображає дещо загальне, єдине для різних предметів і їх груп.

Поняття утворюється в результаті абстрагування від індивідуальних властивостей предмета, воно відображає сукупність істотних ознак предмета.

Розглядаючи множину об'єктів, які мають певні спільні ознаки, ми відкидаємо в уяві ті ознаки, які належать окремим, але не всім об'єктам даної множини, і фіксуємо ті спільні ознаки, які характерні всім об'єктам даної множини. Ця сукупність спільних ознак, які відбивають природу та істотні властивості предметів, визначає поняття. Наприклад, щоб утворити поняття функції, треба абстрагуватися від різних конкретних залежностей, що існують у дійсності, і вибрати те спільне, що їх об'єднує, а саме: ту відповідність між двома множинами, при якій кожному елементу однієї множини відповідає один єдиний елемент другої множини.

Істотну роль у формуванні поняття відіграє мова. Поняття позначається словом, проте слово, що означає поняття, зв'язане з чуттєвим досвідом, в якому людина ознайомлюється з самими предметами, що включаються в дане поняття.

У понятті можуть відображатися і недоступні органам чуття властивості і відношення між предметами.

Можна, наприклад, мати поняття про велику кількість операцій, що виконує електронна лічильна машина за секунду, але не уявляти собі швидкості її роботи.

З розвитком науки математичні поняття формуються не лише на базі сприймань і уявлень (як початкові поняття), а на базі вже раніше встановлених понять.

Оволодіння будь-якою наукою немислиме без опанування системи понять цієї науки. Це великою мірою стосується математики.

Найважливішим завданням викладання математики є формування в учнів правильних математичних понять.

1.3. Суттєві і несуттєві властивості понять. Прийоми їх виявлення.

Засвоєння математичних понять відбувається у процесі аналітико – синтетичної діяльності учнів, спрямованої на виявлення істотних загальних властивостей певного поняття й усвідомлення його неістотних властивостей, а також на застосування нового поняття до розв’язування задач. До пізнавальної діяльності учнів щодо засвоєння математичних понять належать як загальні (аналіз синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), так і специфічні розумові дії (підведення до поняття і обернена їй дія – виведення наслідків).

У разі використання абстрактно – дедуктивного методу навчання для формування нового поняття вчитель формулює означення сам, наводить приклади об’єктів, що належить до цього поняття, виявляє істотні спільні властивості та зазначає неістотні. Наприклад, запроваджуючи поняття «тотожно рівні вирази» в 7 класі, вчитель має сам сформулювати означення (два вирази, відповідні значення яких рівні за будь-яких значень змінних, називають тотожно рівними) і навести приклади тотожно рівних виразів і таких, які не є ними. Наприклад, вирази 3(x + y) і 3x + 3y, ab + 16c і 16c+ ab - тотожно рівні. Вирази 2x + y і 2xy – нетотожно рівні. Істотною спільною властивістю тотожно рівних виразів є рівність їхніх відповідних числових значень за будь-яких однакових значень змінних. Неістотними ознаками є кількість змінних, які містить вираз, форма виразів.

Наприклад, вираз 5(b+c) має форму добутку, а тотожно рівний йому вираз 5b+5c має форму двочлена; тотожно рівні вирази ab + 16c і 16c+ ab різняться місцем одночленів, що не є істотним.

Труднощі засвоєння понять учнями, які мають слабку підготовку, пояснюються передусім невмінням виокремлювати істотні властивості об’єктів і абстрагуватись від неістотних. У зв’язку з цим учні роблять неправомірні узагальнення, інакше кажучи, генералізацію неістотних властивостей (надання їм ролі істотних).Істотними для них стають яскраві властивості, які виявляються саме тоді, коли фігури розміщені на рисунку стандартно.

1.4. Зміст і об'єм поняття. Зв'язок між ними.

Під змістом поняття ми розуміємо сукупність усіх істотних ознак, спільних для всіх предметів даного класу, що входять у дане поняття.Вчителю ці характеристики поняття потрібно добре знати, щоб судити, як воно засвоєно, яким воно повинне бути.

Слід зазначити, що одні й ті самі ознаки одного й того самого предмета є в одному випадку істотними, а в іншому — неістотними. Все залежить від конкретного співвідношення зв'язків самого предмета і тих його ознак, які в практичному відношенні вважаються істотними.

Об'єм поняття — це сукупність усіх предметів, що охоплюються ним. Наприклад, до об'єму поняття «дійсні числа» входять множини раціональних і ірраціональних чисел.

Зміст і об'єм поняття тісно зв'язані між собою і залежать один від одного. Із збільшенням змісту поняття зменшується його об'єм і навпаки — зменшення змісту поняття збільшує його об'єм.

Наприклад, в об'єм поняття паралелограм входять всі види паралелограмів; зміст цього поняття становлять ознаки: «чотирикутник» і «попарна паралельність несуміжних сторін». Коли до цих істотних ознак додати ознаку «конгруентність усіх кутів зазначеної фігури», то об'єм поняття зменшиться, тепер до нього входить лише частина всіх паралелограмів, тобто лише прямокутники.

Відношення об'ємів двох зазначених понять можна графічно подати у вигляді кругів Ейлера (мал. 1).

Точки кожного круга зображають об'єкти класу, що належать даному поняттю. Великий круг зображає поняття «паралелограм», менший— поняття «прямокутник».

Розподіл об'єму поняття. Певному родовому поняттю, як правило, відповідають не одне видове поняття, а дещо. Так, поняттю «елементарні частинки» відповідають: електрон, нейтрон, фотон, позитрон, протон і т. д.; поняттю «листяні дерева» — береза, клен, дуб, ясен, осика і т. д.; поняттю «планети» — Земля, марс, Юпітер і т.д.

Розумова операція, в результаті якої розкривається об'єм родового поняття, тобто визначаються його види, називається в логіці розподілом об'єму поняття. Поняття, об'єм якого ділиться, називається діленим, а поняття, що виходять в результаті розподіли, називаються членами розподілу.Розподіл об'єму поняття проводиться не довільно, а на основі якої-небудь ознаки, властивої родовому і видовим поняттям. Ознака, по якій проводиться розподіл об'єму родового поняття на види, називається підставою розподілу.

Розподіл об'єму поняття необхідно проводити на основі істотних ознак.Залежно від підстави розподілу родові поняття можуть мити розділені на абсолютно різні види.

При здійсненні операції розподілу об'єму поняття необхідно слідувати певним правилам:

1. Члени розподілу (видові поняття) повинні виключати один одного, тобто кожний предмет входить в об'єм тільки одного видового поняття.