Формування математичних понять в процесі викладання математики в основній школі (стр. 3 из 11)

2. При одному і тому ж розподілі потрібно користуватися однією підставою розподілу.

Наприклад, родове поняття «робітник» по підставі «професія» ділиться на наступні види: «слюсар», «токар», «коваль» і т. д., а по ознаці «освіта» — що «закінчив 10 класів», що «закінчив 8 класів» і т.д.

Будь-яке поняття можна розділити по різних підставах, але у кожному окремому випадку розподіли поняття повинна витримуватися одна ознака як підстава розподілу.

Приклади розподілу по різних ознаках поняття «число»:

1) позитивне і негативне;

2) ціле і дробове;

3) просте і складове;

4) іменоване і відвернуте;

5) парне і непарне;

6) раціональне і ірраціональне;

7) уявне і дійсне.

Вибір тієї або іншої підстави в кожному розподілі визначається цілями, які ставить людина в процесі вивчення предметів матеріального миру. В учбовій практиці досить часто допускається розподіл відразу по декількох підставах. Так, учні (а деколи і самі вчителі), перераховуючи види руху, називають: вертикальний рух, вільний рух, прямолінійний, криволінійний і т. д., а перераховуючи на уроках геометрії трикутники, розташовують в один ряд: рівнобедрені, гострокутні, прямокутні, подібні.

3. Члени розподілу (видові поняття) повинні бути найближчими видовими поняттями даного родового, інакше кажучи, розподіл повинен бути безперервним, не перескакувати через види, а переходити від роду до його найближчих видів.

Наприклад, до листяних дерев відносяться береза, дуб, липа, осика і т.д. Але не можна говорити, що ліс буває листяна, змішана, берези, осики, сосни і т.д. невірний розподіл типу: «Тварини — кішка, собака, верблюд, слон, бегемот і т.д.». Вірно: «Тварини — хижі і нехижі, дикі і домашні і т. д.».

Порушення цього правила називається стрибком в розподілі. Прикладом подібної помилки є наступний розподіл:

«Небесне тіло — зірка, планета, Земля».

«Небесне тіло» не є найближчим родом для поняття «Земля». Для поняття «Земля» найближчий рід — «Планета». Відношення об'ємів даних понять можна зобразити схемою, представленою на мал. 2.

4. Розподіл повинен бути відповідним, тобто сума об'ємів видових понять повинна дорівнювати об'єму діленого родового поняття. При порушенні цього правила припускається двох помилки: помилка вузького розподілу об'єму поняття і помилка широкого розподілу об'єму поняття. Розкриємо зміст цих помилок докладніше:

а) вузький розподіл об'єму поняття. Суть цієї помилки в тому, що при розподілі родового поняття перераховуються не всі види, що входять в його об'єм, тобто сума об'ємів видових понять менше об'єму діленого поняття. Наприклад, перераховуючи основні характеристики елементарних частинок, називають тільки заряд і спин. Перераховуючи види газових розрядів, називають тільки іскровою, дуговий і коронний, але не указують тліючий розряд. В поняття внутрішньої енергії учні включають тільки кінетичну і потенційну, енергію взаємодії молекул (не включають енергію зв'язку електронних оболонок, внутріядерну, енергію гравітаційної взаємодії частинок і ін.);

б) широкий розподіл об'єму поняття. При широкому розподілі вводять такі види, які не містяться в об'ємі діленого поняття, тобто сума об'ємів видових понять більше об'єму родового поняття. Наприклад, перераховуючи основні одиниці вимірювання фізичних величин в системі СІ в механіці, учень назвав метр, кілограм, ампер, ньютон, джоуль і секунду. Але ампер, ньютон і джоуль не містяться в об'ємі вказаного поняття. Ампер — одна з основних одиниць вимірювання в системі СІ, але не в механіці, а джоуль і ньютон — похідні одиниці. З погляду операції порівняння всі поняття в логіці справ» на порівнянні і незрівнянні. Порівнянними називаються поняття, що мають яку-небудь загальну ознаку. Загальним біля порівнянних понять є родове поняття (родова ознака), в об'єм якого вони входять.

Незрівнянними називаються поняття, які неможливо порівняти ні за об'ємом, ні за змістом. Незрівнянні поняття: не мають загального роду, і їх зміст істотно різний. Наприклад: «стіл» і «верблюд», «соловей» і «олівець».

Разом з тим необхідно відзначити: не можна вважати, що існують незрівнянні поняття взагалі. Як би два поняття не були різними і за змістом, і за об'ємом, вони можуть бути порівнянні. Як вже було сказано вище, кожне поняття пов'язано зі всіма іншими.

По характеру відносин порівнянні поняття діляться на дві; групи: сумісні і несумісні.

Сумісними називаються поняття, що мають загальне найближче родове поняття (родова ознака).

Їх видові ознаки співпадають частково або повністю. Звідси витікає, що об'єми сумісних понять можуть співпадати частково.

1.5. Види понять.

У шкільному курсі математики вивчають три види понять:

1) первісні (неозначувані);

2)означувані;

3) поняття, які вводяться описуванням, на прикладах.

В останньому випадку учні частково дістають уявлення про істотні властивості поняття, але означення поняття не формулюється з дидактичних міркувань.Розглянемо особливості методики формування трьох основних видів понять.

Первісні поняття. На перших уроках геометрії в 7 класі розкриваються істотні властивості понять «точка» і «пряма» за допомогою системи аксіом планіметрії. Тут учнів ознайомлюють з важливими відношеннями «належати» для точок і прямих, «лежить між» - для трьох точок прямої.Доцільно звернути увагу учнів на те, що поняття точки, прямої, площини походять від реальних існуючих об'єктів довкілля.

Наприклад, уявлення про пряму дає натягнута нитка, дріт, уявлення про точку - місце дотику олівця до паперу чи крейди до дошки, уявлення про площину – поверхня озера. Проте в геометрії ці фігури дістають, нехтуючи такими властивостями, як розміри точки, товщина прямої, площини. Пряма в геометрії не має товщини і уявляється продовженою необмежено, хоча зображається у вигляді відрізка.

Під час формування первісних понять геометрії важливо, щоб учні добре засвоїли термінологію стосовно цих понять. Наприклад: «точки А і С лежать на прямій а», або «точки А і С належать прямій а»; «прямі а і b перетинаються в точці С», або «точка С є точкою перетину прямих а і b».

Учні мають усвідомити, що поняття «лежить між» стосується точок прямої. Доцільно не тільки ввести поняття і проілюструвати на рисунку, а й розв'язати кілька вправ на підведення до цього поняття. Зокрема, можна запропонувати учням указати точки, які лежать між двома іншими точками. В цьому разі доцільно взяти не тільки точки прямої, а й точки довільних ліній, наприклад кола, ламаної (Мал.3).

Якщо запропонувати учням позначити точку К, яка лежить між даними точками А і В прямої, то деякі учні можуть поставити точку К посередині відрізка АВ. Це пов’язано з розумінням цього поняття в життєвій практиці. Учням слід пояснити: в геометрії точкою, що лежить між точками А і В, є не лише середина відрізка АВ, а будь – яка точка відрізка, розміщена правіше від А і лівіше від В.

Дехто з учнів може назвати точку С кола такою, яка лежить між точками А і D цього кола. Учні мають уміти обґрунтовувати неправильність такої відповіді, розрізняти сформоване на життєвому досвіді поняття «лежати між» і наукове, геометричне поняття.

Означувані поняття. У систематичних курсах алгебри і геометрії значна кількість нових понять означається. Наприклад, тотожно рівні вирази, тотожність, тотожне перетворення виразів, корінь рівняння, лінійне рівняння з одним невідомим, функція, багаточлен, степінь багаточлена, відрізок, промінь, коло, трикутник, паралельні прямі в просторі, багатогранник.

Вводячи означення математичних понять, потрібно враховувати, наскільки відомі й зрозумілі учневі певного віку ті істотні властивості, які розкривають зміст нового поняття. Психолог Дж. Брунер з цього приводу зазначав, що коли основні поняття подано у формальному вигляді як рівняння або точні словесні означення, то вони є недоступними для дитини, якщо вона не засвоїла їх спочатку інтуїтивно.

Це зауваження стосується введення означень на всіх етапах навчання. Що абстрактніше поняття, складніша логічна структура його означення, то гостріша потреба в попередньому запровадженні поняття на інтуїтивному рівні, у поясненні властивостей, які увійдуть в означення, спочатку на конкретних прикладах з використанням наочних образів. Важливо звертати увагу школярів на логічну структуру означень і передусім чітко називати спільні істотні властивості, що входять в означення, характер їх зв'язку (кон'юнктивний, диз'юнктивний чи обидва одночасно). При цьому не обов'язково вводити термінологію логіки, важливо пояснити роль сполучників.

Під час підсумкового повторення в 9 класі або на перших уроках стереометрії, коли пояснюється логічна будова геометрії, слід звернути увагу учнів на принципову можливість різних означень того самого поняття залежно від вибору істотних властивостей, що містить означення. Це можна пояснити на прикладі паралелограма. Водночас не можна допускати, щоб в учнів склалося уявлення про довільність введення математичних понять взагалі та їх означень зокрема.

Потрібно показати учням приклади обґрунтування доцільності введення саме такого, а не іншого означення певного поняття. Наприклад, під час розгляду поняття степеня з нульовим і від'ємним показниками слід пояснити, що доцільність запропонованих означень спричинена потребою поширити правила дій над степенями з натуральним показником на степені з нульовим і цілим від'ємним показниками.

Поняття, що вводяться описово.Значна кількість математичних понять, що вивчається в курсах математики початкової школи та 5 —6 класів, вводиться описово. Наприклад, у 5 класі за посібниками так вводять поняття числового й буквеного виразів, відрізка, кута, трикутника, площі, звичайного дробу, десяткового дробу, прямокутного паралелепіпеда; у 6 класі — поняття простого і складеного чисел, кола, кругового сектора, кулі, від'ємного числа, додатного числа, числової прямої, прямокутної системи координат, коефіцієнта, подібних доданків.