Формування математичних понять в процесі викладання математики в основній школі (стр. 5 из 11)

Осоружні поняття. Осоружними називаються несумісні (супідрядні) поняття, видові ознаки яких обумовлюють найбільшу відмінність їх в змісті і повне виключення їх збігу за об'ємом.

Якщо при розподілі родового поняття на види по певній підставі розташовувати видові поняття по ступеню відмінності їх ознак, то утворюється ряд супідрядних понять. При цьому крайні в даному ряду поняття матимуть найбільші відмінності між собою. Говорять, що ці два поняття знаходяться відносно осоружності приклади: 1) білий, білястий, світло-сірий, сірий, темно-сірий, чорнуватий, чорний; 2) високий, вище середнього зростання, середнього зростання, нижче середнього зростання, низький. Як бачимо, найбільшу відмінність в даних рядах понять мають крайні поняття «білий» — «чорний»; «високий»-— «низький». Відношення осоружності встановлюється між поняттями, що відображають предмети, що займають крайні положення у ряді однорідних предметів. Осоружні поняття мають загальний рід (наприклад: колір, зростання), але видові ознаки їх обумовлюють найбільшу можливу відмінність між ними з даного ряду несумісних супідрядних понять. Таким чином, осоружні поняття утворюють особливий випадок супідрядності. Разом з тим крайню відмінність мають і незрівнянні поняття.

Але, на відміну від осоружних понять, незрівнянні поняття не мають загального родового поняття, бо відносяться до надзвичайно віддалених один від одного сторін або областей дійсності.

Сума об'ємів осоружних понять не вичерпує повністю об'єму родового поняття. Більш того, між ними можуть знаходитися інші видові поняття, що розрізняються у меншій мірі. Зміст обох осоружних понять носить цілком певний, позитивний, ствердний характер, і ці поняття не можуть існувати одне без іншого.

Так, без верху немає низу, без білого — чорного і т.д. Слова, що виражають осоружні поняття, називаються антонімами. Всі розглянуті вище види понятті по їх відносинах можна представити схематично, як показано на мал.6

Поняття, що суперечать. Поняттями, що суперечать, називаються два несумісні супідрядні поняття, сума об'ємів яких повністю вичерпує об'єм загального родового поняття, а видові ознаки мають протилежний характер (ознаки одного поняття повністю заперечують інше, і навпаки), наприклад: «білий»—«небілий», «високий» — «невисокий».

Ці поняття від осоружних відрізняються тим, що сума їх об'ємів рівна об'єму родового поняття.

Значить, між ними немає якого-небудь середнього, третього поняття, наприклад: у разі поняття вся решта «білого» ряду понять входить в поняття «небілий». Якщо осоружні поняття обидва позитивні, то що суперечать — одне має позитивну видову ознаку, інше — негативний.

1.6. Зв'язок між поняттями.

Всі предмети і явища навколишньої дійсності зв'язані і взаємно обумовлюють один одного. Віддзеркалення цих об'єктивне існуючих зв'язків між предметами і явищами в свідомості людини — зв'язки і відносини між поняттями.

Як абсолютно справедливо говорив Д.Д. Ушинський, поняття не лежать в голові учня мертвими низками, одне біля іншого. Вони багатьма сторонами стикаються один з одним.

Поняття взаємно зв’язані і взаємно обумовлюють один одного. Відносини між поняттями є, перш за все, відносини їх по таких характеристиках, як зміст понять і їх об'єм. З урахуванням цих характеристик і їх взаємозв'язку розрізняють родові і видові поняття.

У кожному предметі є, з одного боку, істотні ознаки, загальні для класу предметів, а з іншою — специфічні, характерні для окремої групи предметів.

У книзі пані короткі відомості про характеристики і види понять. При бажанні читач може поглибити знання з цих питань, використовуючи спеціальну літературу.

Поняття, що відображають істотні загальні ознаки класу предметів, називаються родовими або пологами. Об'єм родового поняття включає об'єм декількох понять меншого ступеня спільності. Загальна ознака родового поняття називається родовою ознакою. Родова ознака визначає істотно загальне (тотожне) в змісті класу предметів, явищ дійсності.

Поняття меншого ступеня спільності, що відображають властивості окремих предметів (явищ), що входять в об'єм родового поняття, називаються видовими або видами. Зміст видових понять відображає специфічні, характерні властивості груп предметів; воно виражається в так званих видових ознаках. Ознака, по якій один вигляд відрізняється від інших видів одного і того ж роду, називається ознакою видової відмінності. Об'єми видових понять повністю входять в об'єм родового поняття, є його частиною.

Відношення за об'ємом двох понять (відношення роду і вигляду) в логіці прийнято наочно зображати у вигляді кругів (кругів Ейлера), як це показано на мал. 7. При цьому родовому поняттю відповідає круг більшого діаметру, видовому — круг меншого діаметру. Це умовне зображення показує, що об'їм поняття, що є родовим, більше об'єму поняття, що є по відношенню до нього видовим. Воно показує також, що об'єм видового поняття — частина об'єму родового. Видові поняття, об'єм яких складає частину родового поняття, називаються підлеглими. По відношенню до родового, підпорядковує поняття вони знаходяться в підкоренні, а по відношенню один до одного — в супідрядності. А самі видові поняття, що мають загальний найближчий рід, називають супідрядними. При відношенні підкорення поняття підкоряються один одному як за об'ємом, так і за змістом. Підкорення за об'ємом розглянуто вище. За змістом це відношення встановлюється на основі загальної родової ознаки, що міститься у видовому понятті (як частини його змісту). Визначаючу роль грає зв'язок за змістом, тому що відношення за об'ємом встановлюється на основі родової ознаки, що міститься у всіх видових поняттях, що мають загальний рід. Але необхідно мати зважаючи на, що встановлення відношення між поняттями, як за об'ємом, так і за змістом — єдиний нероздільний процес.Відношення підкорення — дуже важливий вид відношення між поняттями. Неможливо дати жодного визначення, не підпорядкувавши видове поняття родовому. Будь-яке правильне визначення починається саме зі встановлення підкорення між видовим і родовим поняттям. Дати визначення — це значить знайти найближче родове поняття даного видового і вказати його видову відмінність, наприклад: «Динамометр є прилад для вимірювання сили». Тут найближче родове поняття «прилад», видова відмінність — «для вимірювання сили».

При операції поняттями, що знаходяться відносно підкорення, часто припускається помилки, що є слідством неправильного підведення видового поняття під родове поняття або знаходження видових понять якого-небудь родового поняття. Щоб не припускатися подібної помилки, необхідно знати наступні правила:

1. Підлегле поняття — це видове поняття, а що підпорядковує поняття — це родове поняття.

2. Те, що властиво поняттю, що підпорядковує, то властиво і підлеглому поняттю, але не все, що властиво підлеглому поняттю, можна знайти в понятті, що підпорядковує.

Наприклад, все, що властиво поняттю «дерево» (що підпорядковує поняття), то властиве і поняттю «хвойне дерево» (підлегле поняття). Проте не все, що властиво хвойним деревам, буде властиво всім деревам. Те, що властиво хвойному дереву і що відрізняє цей вид дерев від листяних, не входить в зміст родового поняття «дерево» (це видова ознака).Завершальним етапом формування поняття, як правило, є його означення.В математиці і в навчанні математики застосовують різні способи означення понять. Найчастіше, особливо в навчанні геометрії, зустрічаються означення «через найближчий рід та видову відмінність».

1.7. Означення понять. Способи означення понять.

Означення відіграють велику роль у математиці. Вони допомагають виділити даний предмет з інших об'єктів. Під означенням ми розуміємо таку логічну операцію, за допомогою якої ми розкриваємо зміст поняття.

Об'єкт має багато властивостей. Щоб його відрізнити від інших об'єктів, досить виділити лише його істотні властивості. Уміння точно визначити поняття, а отже, знання правил визначення понять, має величезне значення у всіх областях науки і практики. Не випадково розробкою прийомів визначення понять займалися філософи з якнайдавніших часів. Перші спроби такого роду були зроблені старогрецьким філософом-матеріалістом Демократом (460—370 рр. до н. э.) в його трактаті «Про логіку», старогрецьким філософом-ідеалістом Сократом (469—399 рр. до н. э.), що спирався на індукцію. Ознаки правильності визначень він знаходив на основі аналізу окремих випадків. Платон (428—347 рр. до н. э.), розвиваючи сократівську індукцію, приходить до думки, що поняття є істотне в речах, загальне, показуюче приналежність до загального роду. Він вважав, що визначення повинне указувати на приналежність до загального (роду) і на специфічну відмінність, яка відрізняє цінну річ від всіх речей роду. В подальшому проблемою визначення займалисяАрістотель (384—322 рр. до н. э.), Т. Гоббс і 1588—1679) і інші філософи.

Визначити поняття — це значить підвести дане видове поняття під найближче родове поняття і укажіть його видові відмінності. «Визначити поняття зовсім не означає перерахувати ознаки предмету (ця операція здійснюється лише з мертвим поняттям, вийнятим з теоретичного контексту). Визначити поняття означає розвинути його, включити у вузлову лінію понятійних перетворень. Це означає, далі, визначити його через «місце» в системі понять, в теоретичній структурі».