Формування математичних понять в процесі викладання математики в основній школі (стр. 7 из 11)

Виділяють також номінальне визначення — пояснення значення слова, імені або терміну, що позначає дане поняття. Є різні способи означування понять. Основний з них — через найближчий рід і видову відмінність. Наприклад, «Медіана є відрізок, що з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони». Тут вказано родове поняття (відрізок) і видова відмінність (з'єднує вершину з серединою протилежної сторони).Означення через абстракцію — це означення, в якому властивості множин розкриваються через відношення рівності між ними. Наприклад: «число (кардинальне) класу а є клас всіх класів, що перебувають у відношенні взаємно однозначної відповідності з класом а».

Аксіоматичне означення — це логічна операція опосередкованого розкриття змісту поняття за допомогою певної аксіоматики. Так, система аксіом геометрії Гільберта непрямо означає поняття «точка», «пряма», «площина», «належність», «між», «конгруентність». Наприклад, аксіоми інцидентності (належності): 1) двом точкам належить тільки одна пряма; 2) якщо дві точки прямої належать площині, то й ця пряма інцидентна даній площині, опосередковано розкривають зміст понять «пряма», «площина», «інцидентиність».

Оскільки зміст кожного поняття розкривається через означені вже поняття, то в процесі такого поступового зведення (редукції) приходять до ряду не означуваних понять. Це є первісні, основні поняття, такі як: «множина», «відповідність», «натуральне число», «точка», «пряма», «площина», «конгруентність» тощо.

При означуванні понять треба запобігати створенню сурогатів-означень, в яких за означення беруться перелік тих моментів з практики, які привели до утворення даного поняття. Наприклад: «Число є результат рахунку або вимірювання»; «відношення є результат порівнювання» і т. д. Тут за означення поняття взято деякий його опис. Означення, по можливості, не повинно подаватися в негативній формі. Наприклад, означення: «трапеція не є паралелограм», або «ірраціональне число — це не ціле число» є неправильними.

Перший основний спосіб означенняпочинається з вказівки роду, в який як вигляд входить визначуване поняття. При цьому береться не перший рід, що попався, а найближчий, в який даний вигляд входить. Родове поняття — це і є більш широке поняття, під яке, «підводиться» визначуване видове поняття.

Знаходження більш широкого поняття є тільки початком визначення поняття. Другий етап — вказівка видової відмінності визначуваного поняття. В кожний рід входить багато видів. Для того, щоб точно визначити поняття, треба знайти змістданого вигляду, знайти ту специфічну істотну ознаку, по якій даний вигляд відрізняється від всієї решти видів, що входять у вказаний рід.

Вперше наукове формулювання прийому визначення поняття через найближчий рід і видову відмінність дав Арістотель. Він сформулював також правила визначення, прийняті сучасною традиційною логікою. Д. Маркс,Ф.Энгельс в своїх працях широко користувалися цим прийомом визначення поняття. Серед помилок більш типовими при означуванні є: не називання окремих істотних ознак поняття. Наприклад: «Кут, утворений двома хордами, називається вписаним» (не сказано, що його вершина лежить на колі); «Піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, називається правильною» (не зазначено, що її вершина ортогонально проектується в центр основи) і т. д. Причиною таких неточних формулювань є недостатнє розуміння кожної з істотних ознак означуваного поняття. Тому при введенні поняття слід виділяти всі їх істотні ознаки, перелічити ці ознаки, зіставити означуване поняття із спорідненими, але відмінними поняттями. і називання зайвих (вивідних) ознак поняття, наприклад: «Середньою лінією трапеції називається відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції і паралельний основам трапеції». Такі помилки є менш істотними, ніж попередні. Однак вони свідчать про те, що учні не усвідомлюють потреби мінімалізації ознак в означенні поняття. Виправляючи їх, треба пояснити учневі, що вивідні ознаки понять є предметом не означень, а теорем; що цим демонструється не «обширність» його знань, а логічна нечіткість. Причиною таких помилок є дещо неосмислене нагромадження учнем ряду споріднених фактів. Щоб запобігти появі таких помилок, доцільно в ході викладання та після розгляду певної теми (наприклад, про трапецію) показ учням логічне призначення кожного із розглянутих математичних тверджень.

Називання суперечних ознак, наприклад, «Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, а кути діагоналями поділяються навпіл». У подібних випадках пояснюємо, що не можна об'єднувати в одному твердженні істотні ознаки поняття загального виду із специфічними ознаками підпорядкованого йому поняття.

1.9. Види означень.

Існують різні види означень у математиці. Найпоширеніший з них — означення через рід і видову відмінність.

Означення через рід і вид. При такому означенні ми заздалегідь визначаємо клас, який припускається вже точно означеним, і з нього виділяємо підклас, що має дану видову відмінність. Наприклад, арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим самим числом. Найближчий рід тут — це поняття «послідовність» (припускається, що поняття «послідовність» точно означене), видова відмінність: «кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим самим числом».

Означення поняття характеризується двома основними частинами. Перша частина - визначуванепоняття. Це то поняття, що визначається, друга частина — визначальна поняття — ті слова в означенні, що характеризують родову і видову ознаки визначуваного поняття. Наприклад, в означенні арифметичного квадратного кореня «невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а» визначуване поняття буде «арифметичний корінь», визначальне поняття — це слова «невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а».

Означення через рід і вид здебільшого зустрічаються у геометрії.

Генетичне означення. Генетичне означення — це означення, яке вказує на походження предмета, яке охоплюється даним поняттям. У такому означенні вказується спосіб, яким даний предмет утворюється. Наприклад, означення: «Куля — тіло, яке утворюється від обертання півкруга навколо діаметра» є генетичним означенням. В цих означеннях використовується рух або побудова.

У генетичному означенні також міститься вказівка на найближчий рід і чітко виражається видова відмінність визначуваного предмета від інших предметів даного роду. Наприклад, в означенні циліндричної поверхні: «Поверхня, яка утворюється рухом прямої, що переміщується паралельно самій собі і яка перетинає деяку задану плоску криву (направляючу циліндричної поверхні) поняття «поверхня» є родовою ознакою, а всі інші ознаки, що входять у це означення, є видовими ознаками.

Означення —умовні погодження. До таких означень, наприклад, відносять: 1) означення добутку від'ємних чисел (—а) * (—b) = ab;2) означення добутку двох дробових чисел:

;3) означення степеня з від'ємним показником: а^-n = ; 4) означення степеня з нульовим показником а⁰= 1; 5) означення = 1 і т. д.

У старих підручниках ці означення фігурували як правила, і тому окремі учні часто плутали їх з теоремами. Наприклад, окремі учні помилково вважали, що висловлення а⁰= 1 — це теорема, а не означення. Термін «умовні погодження» є невдалим, і це призводить, до того, що окремі учні помилково вважають, що в математиці можна довільно прийняти будь-які погодження. Слід їм пояснити, що доцільність вибору тих чи інших означень диктується потребами узагальнення і зумовлюється певними математичними принципами, перевіреними практикою в широкому розумінні цього слова.

Важливо, щоб учні старших класів навчились самі розбиратися в доцільності таких означень і вміли пояснювати, чому саме вибрані ті означення, а не інші.

При введенні такого означення, яке ще не використовувалося, не треба запитувати: «Чи вірне це означення?». Досить запитати, чи доцільно вибрано означення?

Означення через абстракцію. До цього виду означення звертаються тоді, коли означення через рід і вид важко здійснити.

Процес утворення поняття в цьому випадку спирається на абстракцію ототожнювання. Зіставляючи і порівнюючи між собою різні предмети, ми виділяємо їх спільні властивості, а серед них— специфічні, відмінні властивості для даного кола предметів, утворюючи відповідні множини, кожний елемент яких розглядається під кутом зору цієї відмінної властивості.

Сукупність встановлених при цьому ознак ми об'єднуємо загальною назвою, не вказуючи родового поняття (яке зовсім не існує або до моменту означення нового поняття ще не створене). Таким способом утворюється нове поняття.

Візьмемо, наприклад, поняття «величина». В результаті спостережень і досвіду виявляються такі основні ознаки цього поняття:

1) які б не були аі bмає місце одне і тільки одне з трьох співвідношень: або а = b, або a< b, або b < а;

2) якщо а < bіb< с, то а < с(транзитивність відношень «менше», «більше»);

3) для будь-яких двох величин а і bіснує однозначно визначена величина с = а + b;

4) а + b = b + а (комутативність додавання);

5) а + (b + с)=(а+b)+с (асоціативність додавання);

6) а +b >а(монотонність додавання);

7) якщо а > b,то існує одна і тільки одна величина с,для якої b+с=а(можливість віднімання);