Приклад1. Актуалізуйте і систематизуйте знання за поняттями і їх визначеннями, відповівши на наступні питання:
Основним підсумком роботи будуть наступні факти:
Поняття — це форма мислення про цілісну сукупність істотних і неістотних властивостей об'єктів реального миру, зокрема і математичних об'єктів. Для формування математичних понять необхідне розуміння математичного об'єкту, який в понятті характеризується завдяки вживанню певних розумових дій.
Коли ведеться мова про математичний об'єкт, наприклад про ромб або квадратне рівняння і т. п., то мається на увазі конкретний емпіричний (реальний) об'єкт, представлений у вигляді малюнка, моделі або аналітичного запису, і одночасно теоретичний (ідеальний) об'єкт, що володіє всіма істотними властивостями. В прикладі з ромбом це не тільки намальований ромб, але і всі об'єкти, які суть геометричні фігури з чотирма сторонами, протилежні з яких паралелі, всі сторони рівні, діагоналі перпендикулярні і т.п.
Сформувати поняття про об'єкт — це значить розкрити всі істотні властивості об'єкту в їх цілісній сукупності. Діяльність учня (суб'єкта) при цьому направлена на вивчення математичного об'єкту, а продуктом цієї діяльності буде правильне поняття.
Однією з дій вивчення математичного об'єкту для отримання поняття про нього є дія визначення.
Визначити об'єкт — це значить вибрати з його істотних властивостей такі і стільки, щоб кожне з них було необхідне, а всі разом достатні для відмінності об'єкту, що вивчається, від інших.
Виконується дія визначення різними шляхами (за допомогою різних розумових і наочних операцій), і результат його виконання фіксується в різного вигляду визначеннях.
Логічна структура дії визначення математичних об'єктів, взагалі кажучи, єдина.
Єство дії визначення математичних об'єктів. Для розуміння єства дії визначення математичних об'єктів необхідне розуміння структури аксіоматично побудованої теорії. Якщо учбовий предмет будується аксіоматично (або близько до аксіоматичного методу), то вибираються основні об'єкти (фігури) і їх істотні властивості або зв'язки між ними розкриваються в системі аксіом. Так, в підручнику А. В. Погорєлова основні фігури в планіметрії «крапка» і «пряма» і відносини між ними «належати» і «лежати між» розкриваються за допомогою чотирьох аксіом.
Потім на основі побічно охарактеризованих властивостей основних об'єктів (фігур) предмету і відносин визначаються подальші об'єкти (фігури) предмету.
Наприклад, промінь вже можна визначити через введення фігур «пряма» і «крапка» і відношення «лежати по різні сторони» як еквівалентне відношення «лежати між» і загальні гносеологічні поняття «частини» і «множина».
Для конструювання визначення фігури «промінь» на прямій вибирається її частина. Частина ця складається з таких крапок, які лежать по одну сторону від фіксованої крапки на прямій, яку називають початком променя. Оскільки промінь — частина прямої, то більш широким поняттям для нього буде пряма; значить, пряма — родове поняття, причому найближче. Видові відмінності: частина прямої; крапка, що обмежує цю частину з одного боку.
Розглянемо ще приклад. Кут — це фігура, яка складається з двох різного проміння з обший початковою крапкою. Родовим найближчим об'єктом буде фігура; видові відмінності: два промені і загальний початок біля цього проміння.
Операції, що розкривають дію визначення об'єктів, будуть наступні: вибирається найближчий родовий об'єкт (фігура), потім на цей об'єкт накладаються як би обмеження, видові характеристики (відмінності). На основі видових характеристик більше властивостей. Ось цьому об'єкту з великим числом . властивостей і меншим об'ємом привласнюється нова назва (термін). Так, зі всієї рівності рівнянням назвемо тільки таку рівність, в записі якої є змінні (букви). Зі всіх рівнянь квадратними назвемо такі, які мають вигляд ах2+bx+с = 0,де х — змінна; а, b і с— деякі числа, причому а≠0. Зі всіх прямокутників квадратом назвемо такі прямокутники, біля яких суміжні сторони рівні, і т.п.
При виділенні видів визначень математичних об'єктів часто ось ця загальна дія — визначення об'єктів — називають конкретним видом «визначення через найближчий рід і видові відмінності». Нам представляється більш правомірним вести мову про специфіку дій по виділенню видових відмінностей і залежно від цього розрізняють означення і називати їх визначеннями об'єктів конкретного вигляду.
Відповідно до цього можна назвати наступні види визначень математичних об'єктів залежно від специфіки дій, за допомогою яких виділяють родові об'єкти і видові відмінності. Інакше можна ще сказати, що визначення через найближчий рід і видові відмінності мають наступну конкретизацію:
1) визначення об'єктів шляхом вказівки їх характеристичної властивості;
2) негативні визначення. І окремо слід назвати неявні визначення основних (початкових) об'єктів (фігур) предмету через систему аксіом;
3) конструктивні і рекурсивні визначення.
Визначення математичних об'єктів шляхом опису характеристичної властивості.Цей вид визначень побудований на логічних діях і операціях встановлення найближчого роду, видових відмінностей і логічної природи зв'язку між родом і видовими відмінностями. Залежно від логічної природи зв'язку властивостей в шкільному курсі математики розрізняють коньюнктивні і диз'юнктивні визначення.
Розглянемо, наприклад, визначення паралелограма.
Паралелограмом називається чотирикутник, біля якого протилежні сторони паралелі.
Термін — паралелограм.
Рід — чотирикутник.
Видові відмінності: 1) одна пара протилежних сторін паралель;
2) інша пара протилежних сторін паралель.
Всі властивості у визначенні сполучені союзом «и»; значить, маємо конъюнктивне визначення.
Інший приклад — визначення неправильного дробу.
Дріб, в якому чисельник більше знаменника або рівний йому, називається неправильним дробом.
Термін — неправильний дріб.
Рід — дріб.
Видові відмінності: 1) чисельник більше знаменника; 2) чисельник рівний знаменнику.
Видові відмінності сполучені союзом «або». Визначення диз'юнктивне.
Конструктивні і рекурсивні визначення.Властивості об'єкту в такому визначенні розкриваються шляхом показу операцій його конструювання, тобто його видові відмінності задані у вигляді дій.
Приклад 1. Поворотом біля даної крапки називається такий рух, при якому кожний промінь, витікаючий з цієї крапки, повертається на один і той же кут в одному напрямку.
Термін — поворот.
Рід — рух.
Видові відмінності: 1) кожний промінь, витікаючий з крапки, повернути в одному і тому ж напрямі; 2) кожний промінь повернути на один і той же кут.
Конструктивні дії можуть задаватися різно.
Так, в рекурсивних визначеннях указуються деякі базисні об'єкти деякого класу і правила, що дозволяють одержати нові об'єкти цього ж класу.
Дії отримання подальшого члена, якщо відомий попередній, вказані у видових відмінностях.
Негативні визначення. Негативні визначення не задають властивості об'єкту. Вони виконують як би класифікаційну функцію. Якщо клас об'єктів розбитий на групи (множини) і об'єктам однієї групи, що володіють певними властивостями, привласнений термін і є об'єкти, які належать цьому класу, але на наголошених властивостях (всіма або частиною) не володіють, те такий об'єктам дається негативне означення.
Приклад. Прямі, що схрещуються, — це такі прямі, які не належать площині і не перетинаються.
Термін — прямі, що схрещуються.
Рід — прямі.
Видові відмінності: 1) не належать одній площині; 2) не перетинаються.
Таким чином, логічна дія — визначення об'єкту — скрізь однаково, не змістовні (математичні) дії в кожному з на наголошених видах визначень різні. В одних видові відмінності перераховуються як описові характеристики (бути паралельними, бути більше і т. п.); в інших указуються дії, які треба провести, щоб одержати (сконструювати) об’єкт; в третіх перераховуються властивості, які заперечуються.
Таким чином, головне в типології шкільних визначень по видах — це розуміння специфіки дій, що розкривають (характеризуючи) видові відмінності.
Основною учбовою задачею при навчанні визначенням математичних об'єктів буде формування логічної дії по розкриттю структури визначення математичних об'єктів і дій, адекватних конкретному виду визначень.
Дії, за допомогою яких розв'язуватиметься основна учбова задача, наступні:
—логічний аналіз структури визначень різного вигляду (виділення логічної і змістовної функцій кожного слова у визначенні об'єкту, відшукання зайвих слів у визначеннях і ін.);
—підведення конкретного математичного об'єкту під визначення;
—приведення конкретного прикладу, об'єкту, що ілюструє приналежність його даному визначенню;
—заміна визначення об'єкту еквівалентним визначенням цього об'єкту. Іноді цю дію називають переформулювання визначення. Порівняння різних визначень одного і того ж об'єкту;
—отримання слідств з факту, що об'єкт належить до класу об'єктів, охарактеризованих визначенням;
—знаходження логічних і змістовних помилок в приведених визначеннях.
При з'єднанні видових відмінностей коньюктивно для приналежності конкретного об'єкту до класу певних об'єктів необхідне дотримання (наявність біля прикладу) всіх властивостей одночасно.