Формула Бернулли, Пуассона. Коэффициент корреляции. Уравнение регрессии (стр. 1 из 4)

Контрольная работа

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется черным.

Решение

Пусть гипотезы и состоят в том что:

-

Из первой урны извлекли черный шар, вероятность

- извлекли белый шар, вероятность

Гипотезы несовместны и сумма их вероятностей равна 1. Значит, гипотезы образуют полную группу.

Пусть событие А состоит в том, что из второй урны извлекут черный шар. Если происходит событие Н1 то во второй урне станет 6+1=7 черных и 4 белых шара. В этом случае вероятность наступления А равна

Если же происходит событие Н2 то во второй урне станет 6 черных и 4+1=5 белых шаров. Вероятность наступления А

По формуле полной вероятности вычислим вероятность события А (из второй урны вынут черный шар)

Ответ: 0,60

5. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащиеся в его экзаменационном билете.

Решение

Для каждого вопроса вероятность того что студент его знает, одинакова

Найдем вероятность того, что в двух испытаниях событие А (студент знает вопрос) произойдет 2 раза по формуле Бернулли

Ответ: 0,64

11. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин., равно четырем. Найти вероятность того, что за 2 мин. поступит: 1) 6 вызовов; 2) менее шести вызовов; 3) не менее шести вызовов. Предполагается, что поток вызовов – простейший.

Решение

Интенсивность потока

Время t=2

По формуле Пуассона, вероятность того что за время t поступит k вызовов, равна

1)

2)

3)

15. Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 мин, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 мин прибудут: 1) 4 самолета; 2) менее четырех самолетов; 3) не менее четырех самолетов.

По формуле Пуассона, вероятность того что за время t поступит k вызовов, равна

1)

2)

3)

21-30. Для дискретной случайной величины Х, определенной в задаче:

1).написать ряд распределения; 2).построить многоугольник распределения;

3).вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 4).построить интегральную функцию распределения.

21. Вероятность того, что в библиотеке необходимая книга свободна, равна 0,3. В городе 4 библиотеки. СВ Х – число библиотек, которые посетит студент в поисках необходимой книги.

Решение

Случай ная величина Х может принимать такие значения

Х=1 – если студент найдет книгу в первой же библиотеке

Х=2 –если в первой не найдет а найдет во второй

Х=3- если не найдет в первой и второй а найдет в третьей

Х=4- если не найдет ни в первой, ни во второй, ни в третьей.

Найдем их вероятности.

Пусть событие А состоит в том что книга найдена. Р(А)=0,3.

Не найдена – вероятность противоположного события равна

1)Запишем ряд распределения Х

Х	1	2	3	4
Р	0,3	0,21	0,147	0,343

2) См. рисунок 1(21)

3) Математическое ожидание дискретной случайной величины

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

4) Х – дискретная случайная величина. Найдем функцию распределения F(x)=P{x<X}- кусочно-постоянная функция

25. Три плавбазы вышли на путину. Вероятность того, что первая из них перевыполнит план равна 0,9; вторая – 0,8 и третья – 0,85. СВ Х – число баз, перевыполнивших план.

Случай ная величина Х может принимать такие значения

Х=0 если ни первая ни вторая ни третья базы не перевыполнили план

Х=1 – это может произойти если 1-я база перевыполнила план, а вторая и третья нет, или вторая перевыполнила а первая и третья нет, или третья первыполнила а первая и вторая нет.

Х=2 –если первая и вторая базы перевыполнили план а третья нет, или вторая и третья перевыполнили а первая нет, или первая и третья перевыполнили а вторая нет.

Х=3- если все три базы перевыполнили план

.

Найдем их вероятности.

По формулам суммы и произведения вероятностей, по формуле вероятности

1)Запишем ряд распределения Х

Х	0	1	2	3
Р	0,003	0,056	0,329	0,612

2) См. рисунок 1(25)

3) Математическое ожидание дискретной случайной величины

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

4) Х – дискретная случайная величина. Найдем функцию распределения F(x)=P{x<X}- кусочно-постоянная функция

31-40. Случайная величина Х задана плотностью распределения ¦(х). Определить: а) параметр А; б) функцию распределения вероятностей F(х); в) математическое ожидание МХ; г) дисперсию ДХ; д) вероятность того, что в n независимых испытаниях случайная величина Х попадет ровно m раз в интервал (a, b). Построить графики функций ¦(х), F(х).

31.

¦(х)=

n = 4, m = 3, a = 0, b= 2

Решение

а)Для плотности распределения непрерывной случайной величины должно выполняться условие

В нашем случае

б) Функция распределения вероятностей

в) Математическое ожидание

г) Дисперсия

д) При каждом независимом испытании вероятность попадания в интервал равна

По формуле Бернулли вероятность того что случайная величина в n=4 испытаниях m=3 раза попадет в интервал равна

е)Графики смотри рис.2(31)

35.

¦(х)=

n=4, m=2, a=-1/3 А, b=5/4 А.

а)Для плотности распределения непрерывной случайной величины должно выполняться условие

В нашем случае

б) Функция распределения вероятностей

в) Математическое ожидание