Целочисленные функции (стр. 2 из 6)

Докажем, что

Случай 1: если

, то .

Случай 2: если

, то (в силу того, что функция монотонно возрастающая), а так как функция «потолок» — не убывающая, то . Предположим, что , тогда существует такое число , что и (в силу непрерывности функции ). Из условия следует, что — целое число. Это противоречит тому, что между и нет целых чисел. Значит, .

Рассмотрев

, получаем полезное свойство:

и (8)

Например, при

и получаем , т.е. троекратное деление на 10 с последовательным отбрасыванием цифр остатка — это то же самое, что и непосредственное деление на 1000 с последующим отбрасыванием всего остатка.

III. Количество целых чисел в интервалах: [a, b], [a, b), (a,b), (a, b].

Будем рассматривать указанные интервалы при условии

.

Если a и b — целые числа, тогда интервал [a, b) содержит ровно

целых чисел: a, a+1, …, , аналогично интервал (a, b] содержит целых чисел, но a и b— произвольные вещественные числа. Из (4) следует

, когда — целое число

Поэтому интервал [a, b) содержит ровно

целых чисел, а интервал (a, b] содержит ровно целых чисел.

Рассмотрим промежуток [a, b]. Имеем

(на основании свойств (4)). Отсюда следует, что рассматриваемый промежуток содержит ровно целых чисел: , , …, , .

Рассмотрим (a, b), причём

. Имеем . Отсюда следует, что рассматриваемый интервал содержит ровно целых чисел: , , …, , . Если не вводить дополнительное ограничение то получим, что пустой интервал (a, a) содержит ровно целых чисел.

Подытожим установленные факты:

Интервал	Количество целых чисел	Ограничение
[a, b]	ëbû-éaù + 1	a£b
[a, b)	ébù-éaù	a£b
(a, b]	ëbû-ëaû	a£b
(a, b)	ébù-ëaû-1	a<b

(9)

IV. Спектры.

Спектр некоторого вещественного числа a определяется как бесконечное мультимножество целых чисел:

Spec (a) = {

, , ,…} (10)

Если

, то Spec (a)¹Spec (b), т.е. нет двух одинаковых спектров.

Действительно, если предположить, что

, то найдётся некоторое положительное целое число , такое, что . Следовательно, и . Таким образом, Spec(b) содержит менее чем m элементов не больших , тогда как Spec(α) содержит по меньшей мере m.

Пусть

. Число элементов в Spec( ), которые не превосходят , равно

(11)

Говорят, что спектры образуют разбиение всех целых положительных чисел, если любое число, отсутствующее в одном спектре, присутствует в другом; но никакое число не содержится одновременно в обоих. Пусть

и — вещественные положительные числа, тогда Spec( ) и Spec( ) образуют разбиение натуральных чисел тогда и только тогда, когда . Интересное свойство спектров будет доказано в задаче 10. В задаче 17 будет показана связь между мультимножествами Spec( ) и Spec , где — некоторое положительное число.

V. ‘Mod’: бинарная операция.

Если m и n — целые положительные числа, то неполное частное от деления n на m равно

. Для того, чтобы было удобно работать с остатками, введём определение остатка: