Это определение можно распространить на произвольные вещественные числа:

(12)

при

. Положим

Дробную часть числа x можно представить как

Самым важным алгебраическим свойством операции ‘mod’ является распределительный закон:

(13)

Доказательство следует из (11):

Приложение операции ‘mod’: разложение nпредметов на m групп как можно более равномерных. Решение этого вопроса даёт тождества, справедливые при целых

и натуральных

— выражает разбиение n на m как можно более равных частей в невозрастающем порядке. (14)

— выражает разбиение n на m как можно более равных частей в неубывающем порядке. (15)

Доказательство этих фактов можно найти в книге Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташник «Конкретная математика» на с.106-108. Если в (15) заменить n на ëmxûи применить правило (8), то получим тождество, которое справедливо при любом вещественном x и натуральном

(16)

Глава 2. Целочисленные функции (применение к решению задач)

Задача 1.

Всякое натуральное число представимо в виде:

, где

. Приведите явные формулы для l и m как функций от n.

Решение:

Тогда

Ответ:

Задача 2.

Как выглядит формула для ближайшего целого к заданному вещественному числуx? В случае «равновесия» — когда x лежит ровно посередине между целыми числами — приведите выражение, округляющее результат:

a) в сторону увеличения, т.е. до éxù;

b) в сторону уменьшения, т.е. до ëxû.

Решение:

Пусть вещественное число

округляется до

a) В этом случае до

округляются числа

, удовлетворяющие неравенству:

(по свойству (4)).

b) В этом случае до

округляются числа

, удовлетворяющие неравенству:

(по свойству (4)).

Ответ: a)

; b)

Задача 3.

Вычислите

, если m и n— натуральные числа, а

— иррациональное число, большее n.

Решение:

= =

(так как

Ответ:

Задача 4.

Докажите, что

Доказательство:

Отсюда

, так как n— натуральное число.

Итак,

. Что и требовалось доказать.

Задача 5.

Доказать, что если f(x) — непрерывная, монотонно убывающая функция и f(x) — целое Þx— целое, тогда

Доказательство:

1 случай: если

, то

2 случай: если

, то

, так как f – убывающая функция;

(в силу того, что функция «пол» — неубывающая).

Если

, то существует такое число

, что

(так как f непрерывна). Поскольку f(y) целое, то по условию

целое. А это противоречит тому, что между x и éxù не может быть никакого целого числа. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Задача 6.

Решите рекуррентность при целом

при

Решение:

Покажем, что

методом математической индукции по

База:

: из того, что

, следует, что

, тогда

, поэтому для

выполняется

Переход: пусть для некоторого номера

и для меньших номеров утверждение верно:

Докажем, что

Целочисленные функции (стр. 3 из 6)

Глава 2. Целочисленные функции (применение к решению задач)