Целочисленные функции (стр. 6 из 6)
Оценим n:
ÛÛ
ÛÛ
ÛÛ
ÛÛ
ÛÛ
ÛÛ
ÞÞ
.Следовательно,
.Задача 17.
Найдите и докажите связь между мультимножествами Spec(α) и Spec(α/(α+1)), где α — некоторое положительное вещественное число.
Решение:
Число элементов в Spec(α), которые не превосходят n:
.Число элементов в Spec(α/(α+1)), которые не превосходят n:
.Итак, получили, что
.Покажем на основе этого, что чисел равных
в Spec 
будет на 1 больше, чем в Spec( 
).При
если 
, тогда 
.Пусть в Spec(
) элементов не превосходящих будет 
, тогда число элементов в Spec( ) равных будет 
. Подсчитаем количество элементов в Spec равных : 
Что и требовалось доказать.
Ответ: чисел равных
в Spec будет на 1 больше, чем в Spec( ).Задача 18.
На шахматной доске
клеток симметрично начерчена окружность с диаметром 
единиц. Через сколько клеток доски проходит данная окружность?Решение:
Радиус окружности равен
.Горизонтальных прямых, не являющихся сторонами квадрата — (
).Вертикальных прямых, не являющихся сторонами квадрата — (
).Окружность каждую из указанных прямых пересекает в двух точках. Она не проходит через углы клеток. Действительно, если предположить, что данная окружность проходит через какой-нибудь угол клетки, то существуют такие целые числа
и 
, для которых выполняется теорема Пифагора: 
, но 
— целое число, а 
— не целое. Получили противоречие. Следовательно, окружность не проходит через углы клеток.Каждую клетку окружность пересекает в двух точках, а каждая точка пересечения принадлежит двум клеткам. Следовательно, окружность проходит через столько клеток доски, сколько имеется точек пересечения её с прямыми:
.Ответ:
клеток.Задача 19.
Говорят, что f(x) является репликативной функцией, если
f(
) = f( 
) + f 
+ … + f 
при каждом целом положительном m. Укажите, какому необходимому и достаточному условию должно удовлетворять вещественное число c, чтобы функция f(x) = x+c являлась репликативной.
Решение:
f(x) = x+c— репликативна Û
Û
ÛÛ
ÛÛ
= 0Û 
.Ответ:
.Литература
Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташник. Конкретная математика. М.: «Мир» 1998. С 88- 124.