Численные методы (стр. 2 из 2)

Геометрическая интерпритация

На отрезке [x_2i-2;x_2i] длиной 2h

Cтроится парабола, проходящая через три точки. Площадь под параболой, заключення между осью абцисс и прямыми x_2i-2 и x_2i и принимает равный интеграл.

Формула Ньютона – это формула Симсона 3/8.

Пусть n=3m. Количество отрезков разбиения нечетное.

точна для полиномов третьей степени.

2) Формула Чебышева- Гаусса

Квадратуры Гаусса используют, если интегрируемая функция задана аналитически. Подинтегральную функцию апроксимируют полиномами различных степеней. Общий вид линейно-квадративной формулы

, где A_i- весовые функции.

Формула Гаусса:

точна для многочленов N=2n-1 степени. A_iи t_iвычислены и табулированы

Формула Чебышева:

точна для многочлена степени n.

Точки t_iвычислены и табулированы для n=2,3…7,9. Для n=8 и больше 10 t_i не сушествуют.

n=2 -t_i=t₂=0.577350

n=3 -t_i=t₃=0.707107 t₂=0

n=4 -t_i=t₄=0.794654 -t₂=t₃=0.187592

Для вычисления интеграла по формулам 4 и 5 следует сделать замену переменных

Тогда наш интеграл равен

Замечание: правило Рунге используется для оценки погрешности.

Вычисляют интеграл по выбранной квадративной формуледважды, сначала с шагом h, затем h/2. Затем ,если полученное значение >e, то полагают, что наш интеграл равен I=I_2n ,иначе шаг h/4.

|I_n-I_2n|<e

ЛЕКЦИЯ № 16

МЕТОД РУНГЕ-КУТТА (четвертого порядка)

Пусть поставлена задача Коши, где функция f(x,y) 4 раза непрерывно дифференцируема. Необходимо найти решение этой задачи на [x₀,b], x_k=x₀+k*h, k=0,n; h=(b-x₀)/n.

(16.1)

Многошаговые методы. Метод прогноза и коррекции Адамса.

Идея многошаговых методов заключается в том, что при расчете значения искомой функции к некоторой последующей точке x_k+1 используют значение функции в нескольких предыдущих точках x_k-1 ,x_k-2….общая точность метода равна количеству испытаний точек. Все m –шаговые методы можно описать формулами:

16.2

При b₀=0 мы получаем явные методы, при b¹0 – неявные методы.

Обьединение идей явных и неявных методов, позволило получить методы прогноза и коррекции. Их суть в том, что на " шаге может быть получено значение отношения приближенного значения. у(х) от точного, и при необходимости, приближенное значение может быть исправлено, откорректировано на эту ошибку.

у(х₀)-определяется из условия задачи Коши

у(х₁),у(х₂),у(х₃)…у(х_m-1) находится при помощи явных методов Рунге-Кутта. Многошаговые методы удобно применять на длинных отрезках [x₀,b].

Рассмотрим методы погноза и коррекции Адамса 4 порядка.

Пусть поставлена задача Коши 15.3 необходимо найти значение у(х) на [x₀,b] в т.x_k

[x₀,b] x_k=x₀+k*h k=0,n; h=(b-x₀)/n

16.3

Локальная точность

Известно, что на " шаге точное значение функции в т.х_к у̃(х_к) отличается от приближенного значения х_к на величину.

16.4

16.5

где ε заданная точность

Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений

Наиболее и лучше всего иследована система дифференциальных уравнений

1-го порядка. Система из n уравнений имеет вид:

16.6

В векторном виде система 16.6 записывается так:

Начальные условия системы 16.6 имеют вид:

16.7

В общем виде система 16.6 имеет множество решений, а с начальным условием может иметь единственное решение.

Задачей Коши для системы из n дифференциальных уравнений 1-го порядка называются 16.6 с начальным условием 16.7.

Пример:

Пусть есть некоторый продукт. Известна скорость выпуска этого продукта (производительность). Необходимо составить модель, позволяющую прогнозировать колво продукции и общие затраты предприятия на ее изготовление и хранение. Пусть V-объем.

Метод Эйлера. Решение задач Коши для систем дифференциальных уравнений.

Пусть поставлена задача 16.6,16.7.

Необходимо найти значение функций у₁…у_nна отрезке [x₀,b], x_k=x₀+k*h, k=0,m

16.8

В векторном виде :

Локальная точность порядка h²

Общая точность порядка h.

Метод Рунге-Кутта решения задач Коши для систем дифференциальных уравнений.

Пусть поставлена задача Коши 16.6,16.7. Необходимо найти значение функции на отрезке [x₀,b] в т.х_к…..

С этой целью исползуется рекурентная формула

16.9

Решение дифференциальных уравнений высших порядков.

y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y’,…y^(n-1) 16.10

Для уравнения 16.10 можно задать следующее начальное условие:

16.11

Решение 16.10 и 16.11 осуществляется путем перехода к эквивалентной задачи Коши для систем дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Замена имеет вид:

z₁ (x)=y’(x)

z₂ (x)=y’’(x)

z_n-1 (x)=y^(n-1)(x)