Константа С в формуле(2.6) подбирается таким образом, чтобы функция
φ(x) удовлетворяла условиям сходимости метода итераций.
Скорость сходимости метода Ньютона (касательных) выше сходимости метода секущих (хорд).
ЛЕКЦИЯ №3
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Общий вид алгебраического уравнения:
а0хn+ а1хn+1+…+ аn-1х+an=0, a0 0 (3.1)
n=1: а0х+a1=0, x=
n=2: а0х2+a1x+a2=0, x1,2=
Алгебраическое уравнение n- степени имеет ровно n корней.
Теорема Виета (обобщенная):
xn+
x1+x2+…+xn=-
x1x2+x1x3+…+xn-1xn=
x1x2x3…xn=(-1)
Пусть все корни уравнения (3.1) действительны, различны и удовлетворяют соотношениям:
|x1|>>|x2|>>…>>|xn| (3.3)
Преобразуем:
Подставим (3.4) : х2=-
хk=-
Корни уравнения, удовлетворяющие соотношения(3.3), называются отдельными. Задача состоит в том, чтобы по исходному уравнению построить такое уравнение, корни которого будут отделены.
yi=-xim
b0yn + b1yn-1+…+ bn-1y+bn=0 (3.6)
|x1|>|x2|>…>|xn|
Решив уравнение (3.6), корни которого являются отдельными, получим уравнения y1…yn
Значит |yi-1|>>|xi|
МЕТОД ЛОБАЧЕВСКОГО
Для отделения корней Лобачевский предложил метод квадратирования - способ построения по исходному уравнению нового уравнения, кони которого связаны с корнями исходного следующим образом:
yi=-xi2 (3.7)
Процедура выполнения многократна, пока не достигнем серьёзной разницы модуля разности корней
b0(m)yn + b1(m)yn-1+…+ bn-1(m)y+ bn(m)=0 (3.8)
Пусть уравнение (3.8) получено в результате m-го шага квадрирования.
m=1 b0(1)=a02, b1(1)= a12=2 a0 a2
bk(1)=ak2-2ak-1ak+1+2ak-2ak+2….,k=0,n
При получении bk коэффициента , который рассчитывается как квадрат соответствующего коэффициента ak минус удвоенное произведение соседних коэффициентов с akплюс удвоенное произведение следующей пары соседей , чередуя знаки, пока в число соседних коэффициентов не попадут а0 и аn.
bk(m)=( b0(m-1))2-2bk-1(m-1)bk-1(m-1)+2bk-2(m-1)bk+2(m-1)
Критерий остановки: bk(m)≈( b0(m-1))2, k=0,n (3.10)
Получим корень: yi(m)=-xi2 , i=1,n (3.11)
(3.11)-связь корней, полученных на m-шаге процесса квадрирования с корнями исходного уравнения.
yi на m-шаге :
Признак наличия кратных корней: один или несколько коэффициентов → к половине квадрата коэффициента предыдущего шага.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
СЛАУ
Методы решения СЛАУ делятся на точные и приближенные. К точным методам относятся метод Гаусса, метод Крамера, метод обратной матрицы .
Существуют приближенные методы: метод итераций, Зейделя и т.д.
Общий вид СЛАУ:
Сколько переменных столько и ограничений на них.
Т.о. геометрический смысл решения СЛАУ – точка пересечения гиперплоскостей в n-мерном пространстве.
Матрица :
Cn*k*Dk*m=Zn*m , An*n*Bn*1=Xn*1 AX=B (3.14)
ЛЕКЦИЯ №4
МЕТОД ГАУССА
Метод имеет прямой и обратный ход. Будем рассматривать процедуру прямого хода метода с выбором главного элемента. Главный элемент – максимальный по модулю элемент матрицы, выбранный на заданном множестве строк и столбцов.
1 шаг: Выбираем в матрице А максимальный элемент по всем строкам и столбцам. Путем перестановки строк и столбцов ставим этот элемент на место а11. Теперь а11- главный элемент.
А→А1→А2→…→Аn
Аn должна будет содержать ниже главной диагонали все нули.
Получим систему вида
Пусть а221 – максимальный по модулю элемент матрицы А1 по строкам i≥2 и столбцам j≥2. Если это не так, то добиваемся этого путем перестановки строк и столбцов.
А2:
В2: b12=b11; b22=b21/a221; bi2=bi1-b22-b22ai21
Пусть акк+1 максимальный по модулю элемент матрицы Ак, i≥k, j≥k.
Пусть на некотором шаге k<n элемент
Если хотя бы один элемент bik при i≥k+1 ¹ 0, то решения у системы нет.
Если была получена матрица Аn, то система имеет единственное решение.
Начинается обратный ход метода Гаусса.
Определитель : detA=
detA=
Минор Hij элемента матрицы aij представляет собой определитель, полученный из матрицы А путем вычеркивания icтроки и j столбца.
Алгебраическое дополнение Аij элемента аij называется число, равное
Аij=(-1)i+j*Mij
Способы вычисления определителей
1. Привести определитель к треугольному виду (ниже главной диагонали все элементы=0). Достичь этого можно путем вычитания (сложения) строк определителя, умноженных на некоторое число. При перестановки строк/столбцов знак определителя меняется на противоположный. Определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали.