Численные методы (стр. 3 из 3)
2. Рекуррентный способ основан на том, что определитель равен сумме произведений элементов строки/столбца на их алгебраические дополнения. Т.о. задача вычисления определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей n-1 порядка.
Наиболее целесообразно раскладывать определитель по той строке/столбцу, которая содержит максимальное количество нулей. Алгебраическое дополнение 0-го элемента можно не вычислять.
Пусть дана система уравнений вида Ах=В
Если определитель А=0, то система может решений не иметь, либо иметь бесконечное множество решений.
Если определитель А≠0, то корни системы могут быть найдены следующим образом.
Пусть Ак-матрица, полученная из матрицы А путем замен к-го столбца на матрицу-столбец В. Тогда решение
.МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Пусть дана система Ах=В и detA≠0.
Умножим обе части системы на А-1:
А-1*Ах=А-1*В→х=А-1*В
Способы нахождения обратной матрицы:
1. Способ основан на методе Гаусса.
Записать матрицу А, а рядом с ней единичную матрицу. Выполняя элементарные преобразования матрицы А, параллельно выполнять те же преобразования над единичной матрицей. Как только матрица А превратилась в единичную на месте исходной единичной матрицы будет обратная к матрице А.
2. Через алгебраические дополнения.
Составить матрицу алгебраических дополнений, в которой на месте aij элементов будут находиться Aij.
Разделить каждый элемент матрицы алгебраических дополнений на detA.
Транспонировать матрицу алгебраических дополнений, т.е. поменять местами элементы, симметричные относительно главной диагонали.