Экстремальная задача на индексационных классах (стр. 5 из 6)

Итак, доказано существование такой ФР

, что Á_s-Á_n£0 в некоторой окрестности точки x. Случай Á_s-Á_n³0 рассматривается аналогично.

Теорема следует из леммы 3 и утверждения:

Á_s(x) и Á_s(x+0) достижимы. Докажем последнее.

Пусть d=

Á_s(x) . Пусть последовательность ФР , i³1, такова, что Á . Выберем подпоследовательность последовательности {s_i}, слабо сходящуюся к некоторой ФР . Покажем, что Á_s(x)=d. Для произвольного e>0 выберем x¢<x такое, что Á_s(x)-Á_s(x¢)<e¤2 и x¢- точка непрерывности Á_s. Существует номер N такой, что для любого j>N выполнено неравенство ½Á

(x¢)-Á_s(x¢)½<e¤2, из которого следует, что Á_s(x¢) - Á

(x¢)<e, j>N. Так как Á

(x¢) £Á

(x), то Á_s(x) - Á

(x)<e, откуда следует Á_s(x) - d£e. Последнее неравенство влечет Á_s(x)=d.

Глава 2 О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)

В настоящей работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к решению чебышевской экстремальной задачи на [0, ¥).

Чебышевская экстремальная задача. Пусть Â - выпуклый класс ФР на [0, ¥), системы u₀º1 на [0, ¥) функций образуют T₊-системы на [0, ¥).

Положим (1£i£n, sÎÂ):

, ,

- моментное пространство класса Â относительно системы .

Пусть

.

Найти

, где .

1⁰. Первый подход заключается в урезании справа класса  в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе Â_х решается, и в переносе предельным переходом x®¥ решения на класс Â.

Для любого x>0 введем подкласс класса Â: Â_х={sÎÂ:s(x+0)=1}.

Очевидно, для любых x₁<x₂

(1)

Предположим, что для любого x>0 Â_х - индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]).

Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0, ¥), класс ФР вогнутых на [0, ¥),класс ФР s на [0, ¥), удовлетворяющих при 0£x<y<¥ неравенству

, L>0 и т. д.

Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение

( -замыкание множества XÌRⁿ),

где I_i^- - множество всех ФР, имеющих индекс i^- в Â.

Кроме того, для этих классов справедливо включение

, и следовательно,

(2)

Лемма 1.

.

Доказательство. Пусть

. Из выпуклости множества следует, что точка является внутренней точкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в , т. е. существуют векторы , и числа l₁>0, …, l_n>0, l_n+1>0 такие, что .

Из (2) следует существование последовательностей

, таких, что

.

Тогда для достаточно больших k выполнено равенство

,

где

, .

Следовательно,

.

Из леммы 1 следует, что

для достаточно больших x. Так как класс Â_x является индексационным на [0, x], то ([5])

,

,

где

, ( ) – ФР с нижним (верхним) индексом n+1 в классе Â_x.

Так как ФР

имеет индекс (n+1)^- в Â и

, то

.

Из (1) следует, что

.

Вид экстремальных ФР

и для рассматриваемых классов имеется в [5].

2⁰. Второй подход продемонстрируем на примере класса Â₀ всех ФР на [0,¥).

Лемма 2. Если u₀, u₁, …, u_n – T₊-система на [0,¥), то для всех i и j существуют пределы

.

Доказательство. Из определения T₊-системы следует, что для произвольных i, j и чисел a,b функции u_j(t) и au_j(t)+bu_j(t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках.

Пусть х – наибольшее решение уравнения u_j(t)=0. Рассмотрим уравнение

au_j(t)+bu_j(t)=0, t>x. (3)

Уравнение

(u_i(t)¹0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x, ¥) при любых a,b.

Пусть

, .

Допустим, что

не существует, т. е. А<B.

Введем последовательности {t_i}_i³1, {t_i}_i³1, удовлетворяющие условиям:

а) t_k®¥,t_k®¥ при k®¥;

б)

, ;

в) t₁<t₁<t₂<t₂<…<t_m<t_m<… .

Пусть cÎ(A, B).

Из-за непрерывности функции

на (x, ¥) уравнение

имеет бесконечное множество решений на (x, ¥).

Выберем 0£j₀£n так, чтобы

для всех и обозначим .

Пусть число t₀ таково, что

при t>t₀.

Рассмотрим функцию