Продольное и поперечное обтекание тел вращения (стр. 3 из 4)

(19)

где производная dP_n/dm представляет известную функцию величины m = cos h. Ограничивая сумму некоторым фиксированным числом членов n = m, можно, пользуясь выражениями полиномов Лежандра (из § 1), написать тождество

(20)

из которого можно вывести выражения коэффициентов A_n через a_n. Так, например, приm = 5имеем

A₁ = a₁ – 3/5 a₃ + 3/35 a₅, A₂ = a₂ – 9/7 a₄, A₃ = 8/5 a₃ – 32/15 a₅,

A₄ = 16/7 a₄, A₅ = 64/21 a₅.

Представив контур меридианного сечения приближенным тригонометрическим разложением в эллиптических координатах

(21)

определим тем самым числа а_n, а уже после этого, согласно тождеству (20), и величины коэффициентов A_n, что и дает первое приближение к решению задачи об осесимметричном продольном обтекании удлиненного тела вращения. Если удлинение обтекаемого тела велико, то указанное приближение оказывается для практики достаточным. При желании можно учесть в формулах (18) остаточные члены g_n и d_n, что приведет ко второму и следующим приближениям.

Аналогичным путем решается вопрос о поперечном обтекании удлиненного тела вращения. При плавности контура l изменяется в пределах от 1 + ½ x²_min до 1 + ½ x²_max; при этом m остается в пределах ±1. Таким образом, можно считать, что производная dl/dm имеет порядок x²_max, т.е. сравнительно мала. Отсюда следует, что величина

имеет порядок единицы. Рассматривая граничное условие (17) видим, что стоящая в квадратной скобке слева величина

мала по сравнению с величиной

. Действительно,

Таким образом, в квадратной скобке в левой части равенства (*) первый одночлен имеет при малых x порядок 1/x², второй – ln 1/x.

Из приведенного рассуждения следует, что на поверхности удлиненного тела вращения, где x мало, точное граничное условие поперечного обтекания (17) может быть заменено на приближенное

(22)

Сравнивая это граничное условие с приближенным граничным условием продольного обтекания (19), видим, что между искомыми коэффициентами A_nи C_n существует простое соотношение

C_n = -2A_n/n (n+1). (23)

В первом приближении обе задачи – продольного и поперечного обтекания – решаются одновременно и сравнительно легким путем. При обычных значительных удлинениях тел вращения вполне можно довольствоваться первым приближением.

Определив коэффициенты A_n и C_n, найду выражения потенциалов и компонент скоростей для продольного и поперечного обтеканий, после чего уже нетрудно разыскать и распределение скоростей и давлений по поверхности заданного тела вращения или вне его при любом угле. Отмечу, что при всех вычислениях на поверхности удлиненного тела и вблизи нее можно пользоваться для Q_n и dQ_n/dl приближенными выражениями (18). Само собой разумеется, что при удалении от поверхности обтекаемого тела l возрастает и формулы (18) становятся все менее и менее точными.

4.Применение метода особенностей для расчета продольного и поперечного обтеканий тел вращения

Изложенный в предыдущих параграфах (§ 1 и § 2) метод исследования продольного и поперечного обтеканий тел вращения, основанный на непосредственном решении уравнения Лапласа в эллиптических координатах, не является единственным методом решения этой задачи. Первоначально формы обтекаемых тел вращения для дирижаблей определялись наложением однородного, параллельного некоторой оси потока на поток от системы источников (стоков), распределенных вдоль той же оси. Для этой цели применялись вначале дискретные особенности потока – системы источников (стоков) или диполей, а впоследствии – непрерывные их распределения.

Предположим для определенности, что на отрезке (– с, + с) оси Ох задано непрерывное распределение источников (стоков) интенсивности q(х). Тогда потенциал j' возмущенного движения, созданного этой системой особенностей, будет равен (знак минус введем в определение интенсивности q)

(24)

Если задаться видом функции q(x'), то, вычисляя интеграл (24), получим потенциал скоростей, а дифференцирование по r и x позволит вычислить и проекции скорости V_r и V_x. Наоборот, задаваясь формой обтекаемого тела, можно, переходя от потенциала скоростей возмущенного движения к полному потенциалу продольного обтекания тела однородным потоком с заданной скоростью на бесконечности и написав условие непроницаемости поверхности тела, получить интегральное уравнение, в котором q(х') будет неизвестной функцией. Заменяя потенциал скоростей на функцию тока, Карман[6] разработал метод приближенного интегрирования соответствующего интегрального уравнения, основанный на замене интеграла конечной суммой. Однако метод Кармана не был достаточно общим и, кроме того, требовал решения в каждом отдельном случае системы большого числа линейных алгебраических уравнений, что делало его на практике слишком трудоемким.

Аналогично, пользуясь выражением потенциала диполя: – m cosq / (4pr²⁾, можно составить и потенциал j¢ поперечного обтекания тела вращения, складывая потенциал однородного натекания с заданной скоростью на бесконечности с потенциалом скоростей возмущенного движения жидкости от непрерывно распределенных по отрезку – с < х < с диполей интенсивности m(х')

(25)

Здесь также можно задаваться распределением интенсивности m (х') или, наоборот, определять эту интенсивность из интегрального уравнения, представляющего условие непроницаемости заданной поверхности тела по отношению к потоку, складывающемуся из возмущенного и однородного на бесконечности.

Не останавливаясь на изложении этих в настоящее время уже малоупотребительных методов, укажем лишь на простую их связь с методами, изложенными в предыдущих параграфах. Покажем, что при заданной форме поверхностей обтекаемых тел вращения неизвестные функции q(х') и m(х') могут быть выражены через ранее введенные коэффициенты A_n и С_n.

Разобьем ось симметрии тела вращения Ох на две области: одну, определяемую интервалом – с £х£ с, заполненным особенностями, и вторую, представляющую остальную часть оси Ох, где | x | > c. В эллиптических координатах l, m отрезок, на котором расположены особенности, можно представить, согласно формуле r = c Öl² – 1 Ö 1 – m², так:

l = 1, – 1 £m£ 1,

а остальную часть оси Ох, как

m = ±1, 1 < l < ¥.

Тогда, сравнивая между собой вне отрезка (– с < х' < с) выражения потенциалов возмущений (24) и (25) с соответственными выражениями тех же потенциалов и приняв во внимание, что Р_n(1) = 1, получим следующие два равенства:

(26)

(27)

которые при заданных коэффициентах A_n и С_n можно рассматривать как два интегральных уравнения для определения неизвестных функций q и m.

Интегральное уравнение (26) может быть решено, если искать решение в виде ряда

, – 1 £m' £ 1.Подставляя это разложение в (26), получим

Замечая, что по известной формуле теории функций Лежандра[7]

перепишем предыдущее интегральное уравнение в виде

откуда будет сразу следовать искомое решение

a_n = 2pcU_¥A_n,

(28)

Для разыскания второй неизвестной функции m(х') продифференцируем раз по l и другой раз по m' известное разложение[8]

тогда получим

Подставляя это разложение в интегральное уравнение (27), преобразуем его к виду