Продольное и поперечное обтекание тел вращения (стр. 1 из 4)
Содержание
Введение
1. Продольное обтекание тел вращения
2. Поперечное обтекание тел вращения
3. Продольное и поперечное обтекание удлиненных тел вращения
4. Применение метода особенностей для расчета продольного и поперечного обтеканий тел вращения
Список источников
Введение
Теоретическая механика, изучая простейшие, механические формы движения и взаимодействия материальных тел, отвлекается от многих их действительных свойств и использует в качестве допустимой абстракции понятия материальной точки и системы материальных точек. Материальная система может быть как дискретной, состоящей из отдельных материальных точек, так и сплошной, представляющей непрерывные распределения вещества и физических характеристик его состояния и движения в пространстве. В этом случае систему называют сплошной материальной средой или, короче, сплошной средой.
Простейшим примером сплошной среды является неизменяемая среда или абсолютно твердое тело. Более общий образ изменяемой сплошной среды объединяет в механике как упругие и пластические, так и жидкие и газообразные тела.
Раздел теоретической механики, занимающийся движениями такого рода изменяемых сред, носит наименование механики сплошных сред, а часть ее, относящаяся к жидким и газообразным средам, – механики жидкости и газа. Этот термин получил в последнее время широкое распространение, придя на смену ранее употреблявшемуся термину гидромеханика, включавшему в себя как собственно механику жидкости (от греческого «хидрос» – вода), так и механику газов, в частности воздуха. Развитие авиации вызвало особый интерес к вопросам силового взаимодействия воздуха с движущимися в нем телами (теория крыла и винта) и движения тел в воздухе при наличии этих взаимодействий (динамика полета); так появилась аэромеханика. Углубление знаний в области движения сжимаемых жидкостей (газов) привело к возникновению газовой динамики, а применение ее результатов к авиации и ракетной технике положило основание к созданию новой дисциплины – аэротермодинамики, под которой сейчас понимают механику и термодинамику газа, движущегося с большими сверхзвуковыми и гиперзвуковыми скоростями.
Современный этап развития механики жидкости и газа, так же как и вообще механики сплошной среды, характеризуется значительно возросшей вязью с физикой. Требования главным образом ракетной техники поставили перед механикой жидкости и газа новые задачи, определяемые, с одной стороны, гиперзвуковыми (космическими) скоростями движения тел сквозь атмосферу в широком диапазоне высот, с другой – движениями газов в камерах горения и соплах двигателей. В этих условиях приходится иметь дело со сверхвысокими температурами, вызывающими диссоциацию и ионизацию газа, явлениями, связанными с разреженностью атмосферы на больших высотах полета, с разрушением (плавлением и испарением) твердой поверхности обтекаемого газом тела, излучением тепла поверхностью тела и самим газом, с движениями смесей реагирующих между собой газов (например, при горении) и многими другими физическими и химическими процессами. При использовании потоков ионизированного газа (плазмы) для непосредственного превращения тепла в электрическую энергию в магнитогидродинамическом генераторе необходимо рассматривать взаимодействие движущегося газа не только с твердыми телами, но и с электрическими и магнитными полями (магнитная гидродинамика). Все сказанное о газе относится, хотя и в несколько меньшей степени, и к жидкостям. В настоящее время жидкости широко используются как носители тепла в атомной энергетике; процессы тепломассопереноса в жидкостях лежат в основе многих главным образом химических производств, металлургия с успехом применяет магнитную гидродинамику для управления потоками жидких металлов в процессах плавки и др.
Вот почему предмет механики жидкости и газа сейчас уже нельзя сводить к одному механическому движению жидкости и газа и механическому взаимодействию их с твердыми телами. Механические движения сопровождаются общими движениями материи – сложными физическими процессами, которыми не только нельзя пренебрегать, как это делалось ранее, а наоборот, следует иметь в виду, что эти процессы во многих практических задачах играют главную роль, оставляя механическим движениям вспомогательное, подчиненное значение.
Кроме уже упомянутого ранее основного свойства принятой модели жидкой и газообразной среды – ее сплошности (непрерывности распределения массы и физико-механических характеристик среды), для динамики существенно второе основное свойство жидкой или газообразной среды – ее легкая подвижность, или текучесть, – выражающееся в том, что для большинства жидкостей и всех газов касательные напряжения (внутреннее трение) в среде отличны от нуля только при наличии относительного движения сдвига между слоями среды. При относительном покое внутреннее трение отсутствует. В этом заключается отличие жидкой или газообразной среды, например, от упругой среды, в которой касательные напряжения, обусловленные наличием деформаций (а не скоростей деформаций) сдвига, отличны от нуля и при относительном покое среды.
Обладая общими свойствами непрерывности и легкой подвижности, жидкости и газы отличаются друг от друга по физическим свойствам, связанным с различием во внутренней их молекулярной структуре.
Предполагая отсутствие внутреннего трения и процессов переноса, приходят к модели идеальной жидкости, которая оказывается пригодной для описания многих важных сторон явлений обтекания тел, но по самой своей сущности не может, например, объяснить происхождения сопротивления тел, разогревания жидкостей и газов за счет диссипации механической энергии в тепло, тепломассопереноса в жидкости и др. Для описания этих явлений необходимо пользоваться более сложной моделью вязкой, проводящей тепло и обладающей способностью переноса примесей (диффузии) жидкости или газа.
1. Продольное обтекание тел вращения
Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения (см. Приложение 1) возьмем в меридианальных плоскостях (r, x) эллиптическуюсистему координат (x, h), связанную с (r, x) соотношениями
х = с ch x cos h, 0 £x£¥,
r = с shxsinh, 0 £h£ 2p,
где величина c представляет расстояние фокусов семейства координатных линий – сoфокусных эллипсов и гипербол – от начала координат.
Положим
ch x = l, cos h = m, l £l£¥, -1 £m£ 1;
тогда связь между координатами (r, x) и (l, m) будет иметь вид
х = сlm, r = с Öl2 – 1 Ö 1 – m2. (1)
Определив производные
найдем коэффициенты Ламе[1]
(2)После этого уже нетрудно составить и основное дифференциальное уравнение Лапласа для потенциала скоростей. Согласно формуле[2]
(*)получим
(3)Будем искать частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций от переменных l и m в отдельности
j = L(l) M(m); (4)
тогда в уравнении (2) переменные разделятся и из равенства
в силу независимости l и m будет следовать, что каждая из частей равенства должна быть постоянной. Полагая эту постоянную равной n (n+1), где n – целое положительное число, получим для определения L(l) и М(m) два обыкновенных линейных уравнения второго порядка лежандрова типа
(5)Этим уравнениям удовлетворяют[3] два класса независимых решений:
1) функции Лежандра 1-го рода – полиномы Лежандра Pn (х), определяемые равенствами
2)
P0(x) = 1, Р1(х) = х, P2(x) = 0.5 (Зх2-1), P3(x) = 0.5 (5x3-3x),…
и рекуррентным соотношением для вычисления последующих полиномов
(n + 1) Pn +1(х) = (2n + 1) хРn(х) – nРn-1(х);
2) функции Лежандра 2-го рода Qn(х), определяемые равенствами
и рекуррентным соотношением
(n + 1) Qn+1(х) = (2n + 1) xQn(х) – nQn-1(х),
совпадающим с предыдущим соотношением для полиномов Лежандра.
Представим решение уравнения (3) как сумму двух потенциалов: 1) потенциала j¥ однородного потока, набегающего на тело со скоростью U¥; этот потенциал по первой из формул (1) будет равенj¥ = U¥x = U¥clm. и 2) потенциала j' скоростей возмущений, который выразим суммой частных решений (4).
Функция Pn(х), как полином n-й степени, обращается в бесконечность при бесконечно возрастающем аргументе, функция же Qn(х) при этом стремится к нулю, но зато логарифмически бесконечна при х = ± 1. В случае внешнего обтекания тела координата l = ch x может достигать бесконечных значений, а координата m ограничена. Примем во внимание, что потенциал скоростей возмущенного движения (т.е. обтекания за вычетом однородного потока со скоростью, равной скорости на бесконечности) должен стремиться к нулю при удалении от поверхности тела, причем
.Из приведенных соображений следует, что искомые частные решения должны иметь вид произведений Qn(l) Pn(m)(n = 1, 2,…);
подчеркнем, отсчет n при суммировании начинается с единицы, а не с нуля. Это подтверждается наличием следующих очевидных асимптотических равенств, справедливых при больших значениях l, а, следовательно, согласно (1), и R = = Ö х2 + r2, имеющего тот же порядок, что иl: