Циклоида (стр. 1 из 3)
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева
Факультет математики и информатики
Кафедра математического анализа и методики его преподавания
Курсовая работа
по математическому анализу на тему
«Циклоида»
Выполнила студентка 43 группы
Ковальчук М.В.
Научный руководитель
доцент кафедры мат. анализа и мп
Шатохина М.П
Красноярск 2010
Оглавление
1. Введение
2. Исторические сведения
3. Основные свойства циклоиды
4. Построение циклоиды
5. Геометрическое определение циклоиды
6. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координата
7. Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой
8. Заключение
Литература
Кривая циклоида очень интересна для изучения, однако не так просто найти литературу ей посвященную. В большинстве таких источников циклоида упоминается только вскользь или рассматривается не достаточно полно. Однако она используется при решении различных задач. В виду того, что в школах вводится углубленное изучение математических дисциплин, в скором времени может понадобиться подробная информация о различных кривых, в том числе и о циклоиде. Так же задачи связанные с циклоидой встречаются и в физике и в высшей математике. Поэтому я посчитала данную тему актуальной и интересной для изучения.
Цель работы: описать основные свойства циклоиды, привести решение геометрических задач, связанных с циклоидой.
1. Исторические сведения
Первым кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564-1642)_ знаменитый итальянский, астроном, физик и просветитель. Он же и придумал название «циклоида» , что значит : «напоминающая о круге». Сам Галилей о циклоиде ничего не писал, но о его работах в этом направлении упоминают ученики и последователи Галилея: Вивиани, Торичелли и другие.
Великий античный философ — «отец логики» — Аристотель из Стагиры (384—322 годы до н. э.), занимаясь логическим обоснованием понятия движения, рассматривал, между прочим, следующий парадокс.
рис. 1
Пусть кружок, изображенный на рис. 1 жирной линией, катится по прямой АВ. Когда кружок этот сделает полный оборот, точка М вернется на прямую АВ и займет положение Мх. При этом, как мы знаем, отрезок ММХ будет равен длине «жирной» окружности. Рассмотрим начерченный кружок с центром О, изображенный тонкой линией. Когда точка М придет в положение М1 этот маленький кружок тоже сделает полный оборот и его точка К придет в положение К1. При этом в каждый момент времени какая-то одна единственная точка маленькой окружности совмещается с единственной же точкой отрезка КК1. Каждой точке окружности соответствует единственная точка отрезка и каждой точке отрезка — единственная точка окружности. Поэтому напрашивается вывод: длина маленькой «тонкой» окружности равна длине отрезка КК1 — ММ1 т. е. равна длине большой («жирной») окружности. Итак, круги различных радиусов имеют окружности одинаковой длины! В этом и состоит парадокс Аристотеля.
Ошибка здесь в следующем. Из того, что каждой точке окружности радиуса ОК соответствует единственная точка отрезка КК1 вовсе не следует, что длина этой окружности равна КК1. Так, например, на рис. 2 точки отрезка АВ приведены при помощи лучей, проходящих через точку D, во «взаимно однозначное» соответствие с точками вдвое большего отрезка СЕ, но никому в голову не придет утверждать, что отрезки АВ и СЕ имеют одинаковую длину! Это же относится не только к отрезкам прямых, но и кривых линий. Парадоксу Аристотеля можно придать следующую, более грубую, а потому и более ясную форму: рассмотрим две концентрические окружности (рис. 3). На них «поровну» точек: соответствующие точки соединены на рис. 3 прямыми линиями (радиусами). И все же никто не станет утверждать, что длины этих окружностей одинаковы.
рис 2 рис. 3
Аристотель рассматривал именно то движение, которое через 1900 лет привело Галилея к открытию циклоиды; но он не заинтересовался кривыми, которые вычерчиваются точками окружности катящегося круга.
В самом начале XVII века юный Галилей пытался экспериментально проверить свою догадку о том, что свободное падение — равноускоренное движение. Когда он перенес наблюдения с Пизанской башни в лаборатории, ему стало очень мешать то, что тела падают «слишком быстро». Чтобы замедлить это движение, Галилей решил заменить свободное падение тел их движением по наклонной плоскости, предположив, что и оно будет равноускоренным. Проводя эти опыты, Галилей обратил внимание на то, что в конечной точке величина скорости тела, скатившегося по наклонной плоскости, не зависит от угла наклона плоскости, а определяется только высотойH и совпадает с конечной скоростью тела, свободно упавшего с той же высоты (как вы хорошо знаете, в обоих случаях |v̄|=
Изучив движения по наклонным плоскостям, Галилей перешел к рассмотрению движения материальной точки под действием силы тяжести по ломаным линиям. Сравнивая времена движения по различным ломаным, соединяющим фиксированную пару точек А и В, Галилей заметил, что если через эти две точки А, В провести четверть окружности и вписать в нее две ломаные М иL, такие, что ломанаяL «вписана» в ломаную М, то материальная точка из А в В быстрее попадает по ломаной М, чем по ломаной L. Увеличивая у ломаной число звеньев и переходя к пределу, Галилей получил, что по четверти окружности, соединяющей две заданные точки, материальная точка спустится быстрее, чем по любой вписанной в эту четверть окружности ломаной. Из этого Галилей сделал ничем не аргументированный вывод, что четверть окружности, соединяющая пару заданных точек А, В (не лежащих на одной вертикали), и будет для материальной точки, движущейся под действием силы тяжести, линией наискорейшего спуска (позже линию наискорейшего спуска стали называть брахистохроной). Впоследствии выяснилось, что это утверждение Галилея было не только необоснованным, но и ошибочным.Свойства касательной и нормали к циклоиде были впервые изложены Торичелли (1608—1647) в его книге «Геометрические работы» (1644 год). Торичелли использовал при этом сложение движений. Несколько позже, но полнее, разобрал эти вопросы Роберваль (псевдоним французского математика Жилля Персонна, 1602—1672). В 1634 году Роберваль –вычислил площадь, ограниченную аркой циклоиды и ее основанием. Свойства касательной к циклоиде изучал также Декарт; он изложил свои результаты, не прибегая к помощи механики.
2. Основные свойства циклоиды
Определение циклоиды, введенное ранее, никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опирается на механические понятия — скорости, сложения движений и т. д. Поэтому геометры всегда стремились дать циклоиде чисто геометрическое определение» Но для того, чтобы дать такое определение, нужно прежде всего изучить основные свойства циклоиды, пользуясь ее механическим определением. Выбрав наиболее простое и характерное из этих свойств, можно положить его в основу геометрического определения.
Начнем с изучения касательной и нормали к циклоиде. Что такое касательная к кривой линии, каждый представляет себе достаточно ясно; точно определение касательной дается в курсах высшей математики, и мы его приводить здесь не будем. Нормалью называется перпендикуляр к касательной, восставленный в точке касания. На рис. 16 изображена касательная и нормаль к кривой АВ в ее точке М
Рассмотрим циклоиду (рис. 17),круг катящийся по прямой АВ. Допустим, что вертикальный радиус круга, проходивший в начальный момент через нижнюю точку циклоиды, успел повернуться на угол φ и занял положение ОМ. Иными словами, мы считаем, что отрезок МоТ составляет такую долю отрезка МоМ1, какую угол φ составляет от 360° (от полного оборота).
Касательная к циклоиде
При этом точка М0 пришла в точку М. Точка М и есть интересующая нас точка циклоиды.
СтрелочкаOH изображает скорость движения центра катящегося круга. Такой же горизонтальной скоростью обладают все точки круга, в том числе и точка М. Но, кроме того, точка М принимает участие во вращении круга. Скорость МС, которую точка М на окружности получает при этом вращении, направлена по касательной МС1к окружности, т. е. перпендикулярно к радиусу ОМ. А т.к. в этом случае скорость МС по величине равна скорости MP (т. е. скорости ОН). Поэтому параллелограмм скоростей в случае нашего движения будет ромбом (ромб МСКР на рис. 17). Диагональ МК этого ромба как раз и даст нам касательную к циклоиде.
Все сказанное дает возможность решить следующую «задачу на построение»: дана направляющая прямая АВ циклоиды, радиус г производящего круга и точка М, принадлежащая циклоиде (рис. 17). Требуется построить касательную МК к циклоиде.
Имея точку М, мы без труда строим производящий круг, в том его положении, когда точка на окружности попадает в М. Для этого предварительно найдем центр О при помощи радиуса МО =r (точка О должка лежать на прямой, параллельной АВ на расстоянии г от нее). Затем строим отрезок MP произвольной длины, параллельный направляющей прямой. Далее строим прямую МС1, перпендикулярную к ОМ На этой прямой откладываем от точки М отрезок МС, равный MP. На МС и MP, как на сторонах, строим ромб. Диагональ этого ромба и будет касательной к циклоиде в точке М.