Як і у прикладі 6, знаходимо для функції
Застосуємо далі для лівої і правої частини отриманої рівності операції дійсної уявної частини, вважаючи р дійсним і додатнім.
4. Обернене перетворення Лапласа
Теорема 4.1(основна) Нехай функція f(t) задовольняє умові (1.1) і F(p) її зображення. Тоді в довільній точці t>0 в якої функція f(t) диференційована, справджується формула подання:
(4.1)Доведення
Розглянемо функцію
. Очевидно, що функція g[t] інтегрована на (0,∞) і диференційована в т. t>0. РозглядаючиF[p] перетворення Фур’є функції g[t] обернення перетворення Фур’є.Після множення останньої рівності на
отримаємо 4.1. 4.1 називається формулою оберненого перетворення Лапласа або формулою Мелліна. Теорему доведено. ■Теорема має недолік, для її застосування необхідно попередньо володіти інформацією про властивості вихідного оригінала f[t]. В наступній теоремі встановлюється формула звертання при достатніх умовах тільки на зображення F[p].
Теорема 4.2 Нехай F[p] аналітична на півплощині Rep>aщо задовольняє умовам:
1) При будь-якому
існує інтеграл:2) Для
- дуги кола радіуса R з центром в точці (
,0) , приТоді,
- це зображення функції f[t], представленої формулою 4.1 ( )Доведення
Розглянемо прямокутний контур
(мал..4.1)За теоремою Коши інтеграл Г[σ1, σ2, р] по контуру J1[σ1, σ2, р] дорівнює нулю. Перейдемо до границі в J1[σ1, σ2, р]при р→∞. Легко переконатися, що інтеграли за верхній і нижній сторонам прямокутника прямують до 0 при р→∞, а інтеграли по бічним сторонам в границі виявляються рівними за величиною. Таким чином, інтеграл (4.1) не залежить від вибору
.Доведемо, що побудована за формулою (4.1) функція f[t] дійсно є оригіналом заданої функції F[p]. Перш за все зауважимо, що для інтеграла (4.1) справедлива оцінка
Звідси випливає, що інтеграл (4.1) рівномірно по
збігається.Доведемо, що f[t]=0, при t<0. Для цього розглянемо інтеграл
по замкненому контуру в півплощині , що складається з дуги кола радіуса R і відрізка прямої (мал. 4.2). За теоремою Коши :В силу леми Жордана інтеграл по дузі кола прямує до нуля при t<0 і R→∞. Інтеграл що залишився в границі переходить до інтегралу по прямій
, дорівнює нулю при t<0. Покажемо нарешті що перетворення Лапласа в точці p=q( ) співпадає з F[q]. За допомогою формули Коши знаходимо при■
Прививеденні ми врахували що інтеграл по прямій можна замінити на інтеграл за замкненим контуром
, так як при R→∞Лема Жордана. Нехай t>0 і
- півколо радіуса R в півплощині . Якщо функція задовольняє умовам: функція неперервна при , ,Тоді
при R→∞Доведення
Зробимо заміну змінної інтегрування
z=R
.Тоді справедлива оцінка інтеграла
Як відомо, при
. Продовжимо оцінку інтегралаПри R→∞. Лему доведено■
Задача Знайти перетворення Лапласа функції
(5.1)Введена гамма-функція
Розглянемо спочатку L[f[t]][p] при p>0. За допомогою простої заміни змінних знаходимо
Нехай далі
і . Для визначеності будемо вважати , (випадок розглядається аналогічно). Покладемо . Легко перевіряється що ps=t – додатне число.Далі маємо:
де
- відрізок променя . Побудуємо замкнений контур (мал. 5.1). За теоремою Коши:Оцінимо інтеграл по дузі
і кола радіуса Rпри R→∞.
Перейдемо до границі при R→∞,
→0 в рівності (5.3), отримуємоЗвідси і із 5.2 встановлюємо (5.1).
5. Приклади розв’язання базових задач
Зауваження. Функцією-оригіналом називається будь-яка комплексно значна функція f(t) дійсного аргументу t,що задовольняє умовам:
1°.f(t) інтегрована на будь-якому скінченому інтервалівісі t(локально інтегрована).
2°.Для усіх від’ємних t
3°. f(t) зростає не швидше ніж показникові функція, тобто існують такі сталі
і , що для усіх t